Köklü ifadeler, bir sayının belirli bir dereceden kökünü almamızı sağlayan matematiksel gösterimlerdir. Karekök en sık karşılaştığımız köklü ifadedir.
n. dereceden kök şu şekilde gösterilir: \( \sqrt[n]{a} \)
Aynı kök derecesine sahip ifadeler çarpılırken, kök içleri çarpılır ve aynı kök derecesi yazılır.
\( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)
Örnek:
\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15} \)
\( \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2 \cdot 10} = \sqrt[3]{20} \)
Aynı kök derecesine sahip ifadeler bölünürken, kök içleri bölünür ve aynı kök derecesi yazılır.
\( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
Örnek:
\( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \)
\( \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
Kök içindeki bir sayının kuvveti, kök derecesi ile sadeleştirilebilir.
\( \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \)
Örnek:
\( \sqrt[4]{5^{8}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^{2} = 25 \)
\( \sqrt{3^{6}} = 3^{\frac{6}{2}} = 3^{3} = 27 \)
Köklü bir ifadenin kuvveti alınırken, üs kök içindeki sayıya da uygulanır.
\( (\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}} \)
Örnek:
\( (\sqrt{7})^{4} = \sqrt{7^{4}} = 7^{\frac{4}{2}} = 7^{2} = 49 \)
\( (\sqrt[3]{2})^{6} = \sqrt[3]{2^{6}} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^{2} = 4 \)
Kök derecesi ve kök içindeki sayının üssü aynı sayı ile çarpılır
Soru 1: Bir arsa, kare şeklinde ve alanı 180 m²'dir. Bu arsanın bir kenarının uzunluğu kaç metredir?
a) \( 6\sqrt{5} \)
b) \( 3\sqrt{10} \)
c) \( 5\sqrt{6} \)
d) \( 2\sqrt{45} \)
e) \( 12\sqrt{5} \)
Cevap: A) \( 6\sqrt{5} \)
Çözüm: Karenin bir kenar uzunluğu, alanının kareköküne eşittir. \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \) m.
Soru 2: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 4\sqrt{3} \)
b) \( 5\sqrt{3} \)
c) \( 6\sqrt{3} \)
d) \( 3\sqrt{3} \)
e) \( 2\sqrt{3} \)
Cevap: A) \( 4\sqrt{3} \)
Çözüm: Köklü sayılar içindeki katlarını yazalım: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \). İşlem: \( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2+3-1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).
Soru 3: \( \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) 12
b) 16
c) 18
d) 24
e) 36
Cevap: A) 12
Çözüm: Köklü sayılar çarpımı: \( \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12 \). Veya ayrı ayrı sadeleştirip: \( 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12 \).
Soru 4: \( (\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 1) \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 2 + 2\sqrt{5} \)
b) \( 2 + 3\sqrt{5} \)
c) \( 5 + 2\sqrt{5} \)
d) \( 2 - 2\sqrt{5} \)
e) \( 5 - 2\sqrt{5} \)
Cevap: A) \( 2 + 2\sqrt{5} \)
Çözüm: İki terimli çarpım yapalım: \( (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) + (\sqrt{5} \cdot -1) + (3 \cdot \sqrt{5}) + (3 \cdot -1) = 5 - \sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 3 = (5-3) + (-\sqrt{5}+3\sqrt{5}) = 2 + 2\sqrt{5} \).
