Kütlesi Farklı Parayı Bulma Problemi
Bu problem, görünüşte aynı olan ancak kütleleri birbirinden farklı olan paralar arasında, sahte parayı veya farklı kütleye sahip parayı bulmayı amaçlayan bir mantık ve muhakeme problemidir. Genellikle bir terazi kullanılır ve amaç, bu teraziyi en az sayıda kullanarak farklı kütleye sahip parayı tespit etmektir.
Problemin Temel Mantığı
Elinizde görünüşte tıpatıp aynı olan, örneğin 9 tane bozuk para olduğunu hayal edin. Bu paralardan 8'i aynı kütlededir (gerçek paralar), ancak 1 tanesi diğerlerinden biraz daha hafif veya daha ağırdır (sahte para). Sizin elinizde ise sadece bir iki kefeli terazi var. Bu teraziyi kullanarak en az kaç ölçümle sahte parayı bulabilirsiniz?
Bu tip problemlerde temel strateji, paraları gruplara ayırmak ve terazide bu grupları karşılaştırmaktır. Her ölçüm sonucunda, sahte paranın hangi grupta olduğunu anlayarak olasılıkları daraltırsınız.
Örnek Problem ve Çözümü
Problem: 9 tane bozuk para içinden 1 tane olan (diğerlerinden daha hafif) sahte parayı, iki kefeli bir terazi ile en az kaç ölçümde bulursunuz?
Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Gruplara Ayırma
9 parayı üçerli üç gruba ayırın (Grup A, Grup B, Grup C).
- 2. Adım: İlk Ölçüm
Grup A'yı terazinin sol kefesine, Grup B'yi sağ kefesine koyun.
- Denge bozulursa: Sahte para, hafif olan gruptadır. Hafif olan grubu belirleyin.
- Denge bozulmazsa: Sahte para, tartılmayan Grup C'dedir.
Her iki durumda da sahte parayı içeren 3 para grubunu belirlemiş olursunuz.
- 3. Adım: İkinci Ölçüm
Şüpheli gruptaki 3 paradan ikisini terazinin kefelerine birer birer koyun.
- Denge bozulursa: Hafif olan para, yukarı kalkan kefedeki paradır.
- Denge bozulmazsa: Sahte para, tartılmayan üçüncü paradır.
Bu yöntemle, en kötü ihtimalle bile sahte parayı sadece 2 ölçümde bulabilirsiniz.
Problemin Önemi ve Diğer Varyasyonlar
- Bu problem, analitik düşünme, problem çözme ve algoritma geliştirme becerilerini geliştirir.
- Problem, para sayısı (12 para, 13 para vb.) veya sahte paranın ağır mı yoksa hafif mi olduğunun bilinip bilinmemesi gibi faktörlere göre zorlaştırılabilir.
- Matematiksel olarak, üçlü gruplara ayırma yönteminin temelinde, her ölçümde 3 farklı sonuç (sol ağır, sağ ağır, eşit) alma olasılığımızın olması yatar. Bu nedenle bu tip problemlerde 3 sayısı ve üsleri (\(3^n\)) önemli bir rol oynar.
