9. Sınıf Öklid Teoremi Nedir?

Question

Bu teoremi anlamakta biraz zorlanıyorum. Öklid bağıntılarının hangi durumlarda kullanıldığını ve formülleri birbirine karıştırıyorum. Özellikle dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin kenarlar arasında kurduğu oranı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Öklid Teoremi Nedir?

Öklid Teoremi, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin üçgenin kenarları arasında kurduğu bir bağıntıdır. Bu teorem, dik üçgenlerde kenar uzunlukları ile yükseklik arasındaki ilişkiyi anlamamızı sağlar.

Teoremin Tanımı

Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) olsun. [BC] hipotenüs üzerindeki A köşesinden indirilen yükseklik [AH] olsun. Bu durumda:

• Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçalara pisagor parçaları denir.
• |BH| = \( p \) (hipotenüsteki bir parça)
• |HC| = \( k \) (hipotenüsteki diğer parça)
• |AH| = \( h \) (hipotenüse ait yükseklik)

Öklid Teoremi'ne göre:

\( h^2 = p \cdot k \)

Yani, yüksekliğin karesi, pisagor parçalarının çarpımına eşittir.

Teoremin Uygulanışı

Bir dik üçgende:

• Hipotenüs uzunluğu: \( |BC| = p + k \)
• Dik kenarların kareleri: \( |AB|^2 = p \cdot (p + k) \) ve \( |AC|^2 = k \cdot (p + k) \)

Bu formüller, dik kenarların uzunluklarını bulmak için de kullanılabilir.

Örnek Problem

Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 6 cm, pisagor parçalarından biri 4 cm ise diğer pisagor parçası kaç cm'dir?

Çözüm:

• \( h = 6 \), \( p = 4 \), \( k = ? \)
• \( h^2 = p \cdot k \)
• \( 6^2 = 4 \cdot k \)
• \( 36 = 4k \)
• \( k = 9 \) cm

Önemli Noktalar

• Öklid Teoremi sadece dik üçgenlerde geçerlidir.
• Teorem, üçgenin alanı ve benzerlik kullanılarak ispatlanabilir.
• Pisagor Teoremi ile birlikte kullanıldığında dik üçgen problemlerini çözmek kolaylaşır.

Answer 2

9. Sınıf Öklid Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde, hipotenüs 4 cm ve 9 cm uzunluklarına ayrılıyor. Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği kaç cm'dir?
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Cevap: B) 6 cm
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre, hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bu durumda h² = 4 * 9 = 36, dolayısıyla h = 6 cm olur.

Soru 2: Bir ABC dik üçgeninde A açısı 90°'dir. Hipotenüs üzerindeki D noktasından çizilen yükseklik, hipotenüsü 3 cm ve 12 cm'lik parçalara ayırıyor. Buna göre, üçgenin dik kenarlarından biri olan |AB| kaç cm'dir?
a) 3√5 cm
b) 4√3 cm
c) 6 cm
d) 3√6 cm
e) 9 cm
Cevap: A) 3√5 cm
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre, dik kenarlardan birinin karesi, kendisine komşu hipotenüs parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. |AB|² = 3 * (3 + 12) = 3 * 15 = 45, buradan |AB| = √45 = 3√5 cm bulunur.

Soru 3: Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm'dir. Hipotenüse ait yükseklik 12 cm olduğuna göre, bu yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunlukları farkı kaç cm'dir?
a) 5 cm
b) 7 cm
c) 9 cm
d) 11 cm
e) 13 cm
Cevap: B) 7 cm
Çözüm: Hipotenüs parçalarına p ve k dersek, p + k = 25 cm olur. Öklid Teoremi'ne göre h² = p * k → 12² = p * k → 144 = p * k. p + k = 25 ve p * k = 144 denklem sisteminden (p - k)² = (p + k)² - 4pk = 625 - 576 = 49, dolayısıyla p - k = 7 cm bulunur.