Mutlak değer fonksiyonunun belirli integrali

Question

Mutlak değerli bir ifadenin integralini alırken, içinin işaret değiştirdiği noktayı bulup integrali parçalamamız gerekiyor. Bu parçalama işlemini nasıl yapacağımı tam olarak anlayamadım. Özellikle integral sınırları negatif ve pozitif sayıları içerdiğinde kafam karışıyor.

Answer 1

📐 Mutlak Değer Fonksiyonunun Belirli İntegrali

Mutlak değer fonksiyonunun integralini alırken en önemli nokta, fonksiyonun parçalı tanımlı olduğunu unutmamaktır. Çünkü mutlak değer fonksiyonu, içindeki ifadenin işaretine göre farklı davranır.

🔍 Temel Mantık

\( f(x) = |x-a| \) şeklindeki bir fonksiyon için:

• 📌 \( x \geq a \) ise \( |x-a| = x-a \)
• 📌 \( x < a \) ise \( |x-a| = -(x-a) = a-x \)

Bu nedenle, integral sınırları \( a \) noktasını içeriyorsa, integrali iki parçaya ayırmamız gerekir.

🧮 İntegrali Parçalara Ayırma

\( \int_{c}^{d} |x-a| dx \) integralini hesaplamak için:

1. ✅ Önce \( c \) ve \( d \) sayılarını \( a \) ile karşılaştır
2. ✅ Integrali, \( a \) noktasında parçalara ayır
3. ✅ Her parçada mutlak değeri uygun şekilde aç
4. ✅ Parçaların integrallerini ayrı ayrı hesapla
5. ✅ Sonuçları topla

📝 Örnek 1: \( \int_{-1}^{3} |x| dx \)

Burada \( a = 0 \) olduğu için integrali 0 noktasında parçalara ayıracağız:

\( \int_{-1}^{3} |x| dx = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{3} |x| dx \)

Parçaları açalım:

• \( \int_{-1}^{0} (-x) dx \) çünkü \( x < 0 \) iken \( |x| = -x \)
• \( \int_{0}^{3} x dx \) çünkü \( x \geq 0 \) iken \( |x| = x \)

Hesaplayalım:

\( \int_{-1}^{0} (-x) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \)

\( \int_{0}^{3} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2} \)

Sonuç: \( \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

📝 Örnek 2: \( \int_{1}^{4} |x-2| dx \)

Burada \( a = 2 \) olduğu için integrali 2 noktasında parçalara ayıracağız:

\( \int_{1}^{4} |x-2| dx = \int_{1}^{2} |x-2| dx + \int_{2}^{4} |x-2| dx \)

Parçaları açalım:

• \( \int_{1}^{2} (2-x) dx \) çünkü \( x < 2 \) iken \( |x-2| = 2-x \)
• \( \int_{2}^{4} (x-2) dx \) çünkü \( x \geq 2 \) iken \( |x-2| = x-2 \)

Hesaplayalım:

\( \int_{1}^{2} (2-x) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = (4-2) - (2-\frac{1}{2}) = 2 - 1.5 = 0.5 \)

\( \int_{2}^{4} (x-2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{4} = (8-8) - (2-4) = 0 - (-2) = 2 \)

Sonuç: \( 0.5 + 2 = 2.5 \)

💡 Önemli İpuçları

• 🎯 Mutlak değerli integrallerde her zaman kritik noktayı bul
• 🎯 Integral sınırları kritik noktayı içermiyorsa, parçalara ayırmaya gerek yok
• 🎯 Grafiksel olarak düşünmek her zaman yardımcı olur
• 🎯 Sonucun pozitif çıkması beklenir çünkü mutlak değer her zaman pozitiftir