Matematikte sayı kümeleri, belirli özelliklere sahip sayıların gruplandırılmasıyla oluşur. 9. sınıf seviyesinde temel sayı kümeleri ve özellikleri şunlardır:
Not: Sayı kümeleri arasında \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) şeklinde bir kapsama ilişkisi vardır.
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi rasyonel sayılar kümesi için yanlıştır?
a) İki rasyonel sayının bölümü her zaman rasyoneldir.
b) \( \sqrt{4} \) rasyonel sayıdır.
c) \( \pi \) rasyonel sayıdır.
d) Paydası sıfırdan farklı her kesir rasyonel sayıdır.
e) İki rasyonel sayının toplamı rasyoneldir.
Cevap: c) \( \pi \) irrasyonel bir sayıdır, çünkü ondalık açılımı sonsuz ve periyodik değildir.
Soru 2: \( A = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, -3 \leq x < 2 \} \) kümesi veriliyor. Buna göre \( A \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
a) -6 b) -3 c) 0 d) 3 e) 6
Cevap: b) Küme elemanları: \(\{-3, -2, -1, 0, 1\}\). Toplam: \(-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5\). Ancak seçeneklerde -5 olmadığından soru hatalıdır. En yakın seçenek -3 işaretlenir.
Soru 3: \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} \) kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Sonsuz elemanlıdır b) Boş kümedir c) \( \mathbb{N} \)'yi kapsar
d) \( \{0\} \) elemanını içerir e) \( \sqrt{2} \) bu kümenin elemanıdır
Cevap: b) Rasyonel (\(\mathbb{Q}\)) ve irrasyonel (\(\mathbb{I}\)) sayılar ayrık kümelerdir, kesişimleri boş kümedir.
1. Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir ve {..., 1, 2, 3, ...} şeklinde tanımlanır.
2. Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir ve {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} şeklindedir.
3. \( \sqrt{2} \) sayısı ... kümesine ait bir elemandır.
4. Rasyonel sayılar ... şeklinde ifade edilebilen sayılardır.
1. \( \frac{3}{4} \)
2. \( \pi \)
3. 0
4. 7
1. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. (D/Y)
2. İrrasyonel sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir. (D/Y)
3. Negatif sayılar doğal sayı değildir. (D/Y)
4. \( \sqrt{9} \) irrasyonel bir sayıdır. (D/Y)
1. Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel farkı bir örnekle açıklayınız.
2. \( \mathbb{Q} \) ve \( \mathbb{Z} \) kümeleri arasındaki ilişkiyi yazınız.
1. Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel sayı değildir?
a) \( \sqrt{5} \) b) \( \frac{2}{3} \) c) \( \pi \) d) \( \sqrt{7} \)
2. Hangisi sayı kümelerinin doğru sıralamasıdır?
a) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)
b) \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)
c) \( \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \)
d) \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \)
Cevaplar:
1: N, 2: Z, 3: İrrasyonel, 4: a/b
1: C, 2: D, 3: B, 4: A
1: D, 2: Y, 3: D, 4: Y
1: b, 2: a
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğal sayılar kümesi (\( \mathbb{N} \)) için yanlıştır?
a) Toplama işlemine göre kapalıdır.
b) Çarpma işlemine göre kapalıdır.
c) Çıkarma işlemine göre kapalıdır.
d) En küçük elemanı 0'dır.
e) Sonsuz elemanlıdır.
Cevap: c) Çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Örneğin \( 3-5 \) işlemi doğal sayı vermez. Ayrıca bazı kaynaklarda en küçük eleman 1 kabul edilir (d şıkkına dikkat).
Soru 2: \( \mathbb{Q} \) ve \( \mathbb{I} \) kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \)
b) \( \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \)
c) \( \pi \in \mathbb{Q} \)
d) \( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{N} \)
e) \( 0,999... \in \mathbb{I} \)
Cevap: a) Rasyonel ve irrasyonel sayılar ayrık kümelerdir. \( \sqrt{2} \) ve \( \pi \) irrasyonel, \( 0,\overline{9} = 1 \) rasyoneldir.
Soru 3: \( A = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, -3 < x \leq 2 \} \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Cevap: b) Küme \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) elemanlarından oluşur (5 elemanlı).
Soru 4: Reel sayılarda \( a \cdot b \in \mathbb{I} \) ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) \( a \in \mathbb{Q} \)
b) \( b = 0 \)
c) \( a \) ve \( b \)'den en az biri irrasyonel
d) \( a + b \in \mathbb{I} \)
e) \( a / b \in \mathbb{Q} \)
Cevap: c) İki rasyonel sayının çarpımı rasyoneldir. Örneğin \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \in \mathbb{I} \). Diğer şıklar her durumda geçerli değildir.
