Üslü gösterimlerle ifade edilmiş sayıları sıralamak için öncelikle bu sayıların gerçek değerlerini bulmamız veya aynı tabana ya da aynı üsse sahip olmalarını sağlamamız gerekir. İşte bu sıralamayı yapabilmek için izleyebileceğimiz adımlar:
En kesin ve güvenilir yöntem, üslü ifadelerin değerlerini hesaplayıp sonuçları karşılaştırmaktır. Bu, özellikle tabanların ve üslerin farklı olduğu durumlarda en iyi yoldur.
Örnek: \( 2^5 \), \( 3^3 \), \( 4^2 \) sayılarını sıralayalım.
Hesapladığımız değerlere göre sıralama: \( 4^2 < 3^3 < 2^5 \)
Sayıların tabanları farklı ama üsleri aynıysa veya tabanları aynı yapılabiliyorsa, üsleri karşılaştırarak sıralama yapabiliriz.
Kural: Tabanlar aynı ve 1'den büyükse, üssü büyük olan sayı daha büyüktür.
Örnek: \( 2^7 \), \( 4^3 \), \( 8^2 \) sayılarını sıralayalım. Tüm tabanları 2'nin kuvveti şeklinde yazabiliriz.
Artık tüm tabanlar aynı (2). Üsleri karşılaştıralım: 6, 6 ve 7. O halde sıralama: \( 4^3 = 8^2 < 2^7 \)
Sayıların üsleri aynı ama tabanları farklıysa, tabanları karşılaştırarak sıralama yapabiliriz.
Kural: Üsler aynı ve pozitif bir sayı ise, tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.
Örnek: \( 2^5 \), \( 3^5 \), \( 4^5 \) sayılarını sıralayalım. Üslerin hepsi 5, yani aynı. Tabanları karşılaştıralım: 2 < 3 < 4
O halde sıralama: \( 2^5 < 3^5 < 4^5 \)
Üs negatifse, bu sayı aslında 1'in pozitif üslü bir sayıya bölünmesidir. (\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \))
Örnek: \( 2^{-3} \), \( 3^{-2} \), \( 4^{-1} \) sayılarını sıralayalım.
Ondalık değerlerine göre sıralama: \( 3^{-2} < 2^{-3} < 4^{-1} \)
Dikkat! Negatif üslü say
Soru 1: Aşağıda üslü gösterimleri verilen sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte doğru verilmiştir?
a = \( 2^5 \) b = \( 5^2 \) c = \( 3^3 \) d = \( 10^1 \) e = \( 4^2 \)
a) d < e < a < c < b
b) d < a < e < c < b
c) d < e < c < a < b
d) d < a < c < e < b
e) d < e < a < b < c
Cevap: B
Çözüm: Sayıların değerlerini hesaplayalım: a = 32, b = 25, c = 27, d = 10, e = 16. Küçükten büyüğe sıralama: 10 (d) < 16 (e) < 25 (b) < 27 (c) < 32 (a). Ancak seçeneklerde bu sıra yok. Hata yapıldığını fark edip tekrar kontrol ettiğimizde, soruda verilen sıra a, b, c, d, e şeklinde. Bizden istenen ise bu harflerin küçükten büyüğe sıralanışı. Yani d=10, e=16, b=25, c=27, a=32. Bu da d < e < b < c < a sırasına karşılık gelir. Ancak bu seçeneklerde yok. Bu durumda sorunun orijinalindeki seçenekler gözden geçirilmeli. Ancak kural gereği seçeneklerden birini işaretlememiz gerekiyor. Seçenekler incelendiğinde b şıkkı: d < a < e < c < b yani 10 < 32 < 16 < 27 < 25 anlamına gelir ki bu yanlıştır. Benzer şekilde diğer seçenekler de kontrol edildiğinde, doğru sıralamanın (d < e < b < c < a) seçeneklerde olmadığı görülür. Bu bir yazım hatası olabilir. Öğrenciye düşen, değerleri hesaplayıp (d=10, e=16, b=25, c=27, a=32) en küçükten en büyüğe doğru sıralamaktır. Pratik bir yaklaşım, taban ve üsleri karşılaştırarak da yapılabilir ancak bu sayılar için değerleri hesaplamak en kesin yoldur.
Soru 2: \( a = 4^6 \), \( b = 8^4 \), \( c = 16^3 \) olduğuna göre a, b, c sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < b < c
b) a < c < b
c) b < a < c
d) b < c < a
e) c < a < b
Cevap: D
Çözüm: Tüm sayıları aynı tabana (2'ye) çevirerek üsleri karşılaştıralım.
\( a = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} \)
\( b = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} \)
\( c = 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \)
Görüldüğü gibi üç sayının da değeri \( 2^{12} = 4096 \)'dır. Dolayısıyla a = b = c olur. Ancak bu seçeneklerde yok. Bu durumda soruda bir hata olabilir. Farklı bir yorumla, belki de sayılar farklıdır. Örneğin, \( b = 8^4 \) için \( (2^3)^4 = 2^{12} \) doğrudur. Eğer soru \( b = 8^4 \) değil de \( b = 8^3 \) olsaydı, o zaman \( b = 2^9 \) olurdu ve sıralama değişirdi
