Sayı Doğrusu ile Mutlak Değerli Aralıkların Gösterimi

Question

Sayı doğrusunda mutlak değerli ifadeleri gösterirken hangi noktaları dahil edeceğimi karıştırıyorum. Özellikle eşitsizliklerde aralıkların sınırlarını belirlemekte zorlanıyorum. Mesela |x - 3| < 5 gibi bir ifadeyi sayı doğrusuna nasıl yerleştireceğimi tam kavrayamadım.

Answer 1

Sayı Doğrusu ile Mutlak Değerli Aralıkların Gösterimi

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Matematiksel olarak, bir \( x \) sayısının mutlak değeri \( |x| \) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

• \( |x| = x \) eğer \( x \geq 0 \) ise,
• \( |x| = -x \) eğer \( x < 0 \) ise.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Sayı Doğrusu

1. \( |x| \leq a \) Şeklindeki Eşitsizlikler:

Bu eşitsizlik, \( x \)'in sıfıra olan uzaklığının \( a \)'dan küçük veya eşit olduğunu belirtir. Çözüm aralığı:

• \( -a \leq x \leq a \)

Sayı doğrusunda bu aralık, \( -a \) ile \( a \) arasındaki tüm noktaları içerir (sınırlar dahil).

Örnek: \( |x| \leq 3 \) çözümü:

• \( -3 \leq x \leq 3 \)

2. \( |x| \geq a \) Şeklindeki Eşitsizlikler:

Bu eşitsizlik, \( x \)'in sıfıra olan uzaklığının \( a \)'dan büyük veya eşit olduğunu belirtir. Çözüm aralığı:

• \( x \leq -a \) veya \( x \geq a \)

Sayı doğrusunda bu aralık, \( -a \)'nın solundaki ve \( a \)'nın sağındaki tüm noktaları içerir.

Örnek: \( |x| > 2 \) çözümü:

• \( x < -2 \) veya \( x > 2 \)

Sayı Doğrusunda Gösterim

Mutlak değerli aralıkları sayı doğrusunda göstermek için:

• Kapalı aralık (\( \leq \) veya \( \geq \)): Sınır noktaları dolu daire ile işaretlenir.
• Açık aralık (\( < \) veya \( > \)): Sınır noktaları boş daire ile işaretlenir.
• Aralık, uygun yönlerde bir çizgi veya ok ile belirtilir.

Örnek Gösterim:

• \( |x| \leq 1 \): Sayı doğrusunda \( -1 \) ve \( 1 \) dolu daire ile işaretlenir, arası çizilir.
• \( |x| > 4 \): Sayı doğrusunda \( -4 \) ve \( 4 \) boş daire ile işaretlenir, dışa doğru oklar çizilir.