🧮 ALES Matematik: Üslü Sayılar
Üslü sayılar, ALES sınavında sıklıkla karşılaşılan temel konulardan biridir. Bu konuda başarılı olmak için üslü sayıların özelliklerini iyi anlamak ve bolca pratik yapmak gereklidir. İşte üslü sayılar konu anlatımı ve örnek soru çözümleri:
Üslü Sayılar: Temel Kavramlar
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade etme yöntemidir. $a^n$ ifadesinde, $a$
taban, $n$ ise
üs olarak adlandırılır.
* 🍎 $a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n tane a'nın çarpımı)
Üslü Sayıların Özellikleri
* 🍎 $a^0 = 1$ (a ≠ 0) (Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir)
* 🍎 $a^1 = a$ (Her sayının birinci kuvveti kendisine eşittir)
* 🍎 $1^n = 1$ (1'in bütün kuvvetleri 1'dir)
* 🍎 $0^n = 0$ (n > 0) (Sıfırın pozitif kuvvetleri sıfırdır)
* 🍎 $(-1)^{çift sayı} = 1$
* 🍎 $(-1)^{tek sayı} = -1$
Üslü Sayılarda İşlemler
* 🍎
Çarpma İşlemi: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
* 🍎
Bölme İşlemi: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
* 🍎
Üssün Üssü: Bir üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
* 🍎
Dağılma Özelliği: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ ve $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
🎨 Örnek Soru 1
İşleminin sonucu kaçtır?
$\frac{2^5 \cdot 2^{-2}}{2^3}$
Çözüm:
* 🍎 Paydaki üslü sayıları çarpalım: $2^5 \cdot 2^{-2} = 2^{5 + (-2)} = 2^3$
* 🍎 Şimdi bölme işlemini yapalım: $\frac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0 = 1$
Cevap: 1
🎨 Örnek Soru 2
$3^{x+1} = 27$ ise x kaçtır?
Çözüm:
* 🍎 27 sayısını 3'ün kuvveti şeklinde yazalım: $27 = 3^3$
* 🍎 Denklem şimdi şu hale geldi: $3^{x+1} = 3^3$
* 🍎 Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır: $x + 1 = 3$
* 🍎 Buradan $x = 2$ bulunur.
Cevap: 2
🎨 Örnek Soru 3
$(5^2)^3 \cdot 5^{-4}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
* 🍎 Üssün üssü özelliğini kullanalım: $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$
* 🍎 Şimdi çarpma işlemini yapalım: $5^6 \cdot 5^{-4} = 5^{6 + (-4)} = 5^2 = 25$
Cevap: 25
🎨 Örnek Soru 4
$4^x = 8$ eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
* 🍎 4 ve 8 sayılarını 2'nin kuvveti olarak yazalım: $4 = 2^2$ ve $8 = 2^3$
* 🍎 Denklem şimdi şu hale geldi: $(2^2)^x = 2^3$
* 🍎 Üssün üssü özelliğini kullanalım: $2^{2x} = 2^3$
* 🍎 Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır: $2x = 3$
* 🍎 Buradan $x = \frac{3}{2}$ bulunur.
Cevap: $\frac{3}{2}$
🎨 Örnek Soru 5
$\frac{9^2 + 9^2 + 9^2}{3^3 + 3^3 + 3^3}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
* 🍎 Payı düzenleyelim: $9^2 + 9^2 + 9^2 = 3 \cdot 9^2 = 3 \cdot (3^2)^2 = 3 \cdot 3^4 = 3^5$
* 🍎 Paydayı düzenleyelim: $3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 \cdot 3^3 = 3^4$
* 🍎 Şimdi bölme işlemini yapalım: $\frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$
Cevap: 3
