📚 Alt Küme (⊂) Nedir?
Bir alt küme, bir kümenin tüm elemanlarının başka bir küme içinde de bulunması durumudur. Yani, eğer A kümesinin her elemanı B kümesinde de varsa, A kümesi B'nin bir alt kümesidir ve bu \( A \subset B \) şeklinde gösterilir.
🎯 Temel Tanım
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( A \subset B \) ancak ve ancak \( \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B) \)
Bu, "A'nın her elemanı için, eğer bu eleman A'ya aitse, aynı zamanda B'ye de aittir" anlamına gelir.
✨ Önemli Noktalar
- ✅ Boş Küme Her Kümenin Alt Kümesidir: \( \emptyset \subset A \) her A kümesi için doğrudur.
- ✅ Her Küme Kendisinin Alt Kümesidir: \( A \subset A \)
- 📌 Özalt Küme: Eğer \( A \subset B \) ve \( A \neq B \) ise, A'ya B'nin özalt kümesi denir ve \( A \subsetneq B \) şeklinde gösterilir.
🧩 Örnekler
A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} kümelerini ele alalım:
- ➡️ A'nın tüm elemanları (1, 2, 3) B'de de bulunduğu için \( A \subset B \)
- ➡️ C = {2, 4} kümesi için: 2 ve 4 elemanları B'de bulunduğu için \( C \subset B \)
- ➡️ D = {1, 6} kümesi için: 6 elemanı B'de olmadığı için \( D \not\subset B \)
🔍 Alt Küme Sayısı
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
Örneğin: A = {a, b, c} kümesi 3 elemanlıdır, dolayısıyla \( 2^3 = 8 \) alt kümesi vardır:
- 💡 ∅ (boş küme)
- 💡 {a}, {b}, {c}
- 💡 {a,b}, {a,c}, {b,c}
- 💡 {a,b,c}
📝 Alt Küme ve Kapsama İlişkisi
Alt küme ilişkisi ile kapsama ilişkisi birbiriyle yakından bağlantılıdır:
- 📌 \( A \subset B \) ise, B kümesi A'yı kapsar ve bu \( B \supset A \) şeklinde gösterilir.
- 📌 İki kümenin eşit olması için \( A \subset B \) ve \( B \subset A \) olmalıdır.
