Analitik düzlemde iki nokta arası uzaklık

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. İki nokta verildiğinde formülü uygulayabiliyorum ama koordinatları formülde doğru yerine koyduğumdan emin olamıyorum. Özellikle negatif işaretli koordinatlar olduğunda kafam karışıyor.

Answer 1

Analitik Düzlemde İki Nokta Arası Uzaklık

Analitik düzlemde koordinatları verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoreminden yararlanırız. Bu yöntem, bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulma mantığına dayanır.

Formül

Koordinatları \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olan iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle hesaplanır:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Formülün Mantığı

İki nokta arasındaki yatay ve dikey farkları bulduğumuzda, aslında bir dik üçgenin dik kenar uzunluklarını elde ederiz:

• Yatay uzaklık: \( |x_2 - x_1| \)
• Dikey uzaklık: \( |y_2 - y_1| \)

Bu iki kenar, dik üçgenin dik kenarlarıdır. Hipotenüs ise bizim aradığımız uzaklıktır. Pisagor teoremi bize şunu söyler:

\[ (Hipotenüs)^2 = (Yatay Kenar)^2 + (Dikey Kenar)^2 \]

Buradan hareketle formülümüzü elde ederiz. Mutlak değer içinde olmasının sebebi, uzaklığın her zaman pozitif bir sayı olmasıdır. Kare alındığı için sonuç yine pozitif çıkacaktır.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

1. Noktaların koordinatlarını formülde yerine koyalım: \[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \]
2. Parantez içindeki işlemleri yapalım: \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \]
3. Karelerini alalım: \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \]
4. Toplayıp karekökünü bulalım: \[ |AB| = \sqrt{25} = 5 \]

Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Önemli Uyarılar

• Uzaklık her zaman bir pozitif sayı veya sıfırdır. İki nokta çakışıksa uzaklık sıfır olur.
• Formülde hangi noktadan hangisini çıkardığınızın bir önemi yoktur. \( (x_1 - x_2)^2 \) ile \( (x_2 - x_1)^2 \) aynı sonucu verir.
• Bu formül, noktaların koordinat eksenlerine göre konumundan bağımsız olarak her zaman geçerlidir.

Answer 2

Analitik Düzlemde İki Nokta Arası Uzaklık Çözümlü Test Soruları

Soru 1: A(3, -1) ve B(-2, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
a) 5   b) √61   c) 7   d) √37   e) 8
Cevap: b) √61
Çözüm: İki nokta arası uzaklık formülü: √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(-2-3)² + (5-(-1))²] = √[(-5)² + 6²] = √[25 + 36] = √61

Soru 2: A(2, k) ve B(5, -3) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
a) 2   b) -1   c) 0   d) 1   e) -2
Cevap: c) 0
Çözüm: √[(5-2)² + (-3-k)²] = 5 → √[9 + (k+3)²] = 5 → 9 + (k+3)² = 25 → (k+3)² = 16 → k+3 = 4 veya k+3 = -4 → k = 1 veya k = -7. Değerler toplamı: 1 + (-7) = -6

Soru 3: Köşe koordinatları A(1, 2), B(4, 6) ve C(7, 2) olan ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
a) 12   b) 14   c) 16   d) 18   e) 20
Cevap: c) 16
Çözüm: |AB| = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = 5
|BC| = √[(7-4)² + (2-6)²] = √[9 + 16] = 5
|AC| = √[(7-1)² + (2-2)²] = √[36 + 0] = 6
Çevre = 5 + 5 + 6 = 16 birim