Aralarında asal sayıların EBOBu kaçtır

Question

Aralarında asal olan sayıların 1'den başka ortak böleni olmadığını biliyorum. Bu yüzden EBOB'larının 1 olması gerektiğini düşünüyorum ama emin olamadım. Bu konuyu biraz karıştırıyorum sanırım.

Answer 1

# 📚 Ders Notu: Aralarında Asal Sayılar ve EBOB

🎯 Konu: Aralarında Asal Sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB)

Matematikte, özellikle sayılar teorisinde aralarında asal sayılar kavramı ve bunların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) önemli bir konudur. Bu ders notunda bu kavramları detaylıca inceleyeceğiz.

🔢 Temel Tanımlar

Aralarında Asal Sayılar: İki veya daha fazla pozitif tam sayının, 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara "aralarında asal" denir. Bu durum, sayıların asal olmasını gerektirmez, sadece ortak bölenlerinin 1 olması yeterlidir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB): İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EBOB(a, b) şeklinde gösterilir.

💡 Ana Kural ve İspatı

Teorem: Aralarında asal olan iki veya daha fazla sayının EBOB'u her zaman 1'dir.

Matematiksel İfade: Eğer \( \text{EBOB}(a, b) = 1 \) ise, \( a \) ve \( b \) aralarında asaldır. Tersi de doğrudur: Eğer \( a \) ve \( b \) aralarında asal ise, \( \text{EBOB}(a, b) = 1 \)'dir.

📝 Neden EBOB = 1 Olur?

• ✅ Tanım gereği, aralarında asal sayıların 1'den başka ortak pozitif böleni yoktur.
• ✅ Ortak bölenler kümesi sadece {1} olduğundan, en büyük ortak bölen de doğal olarak 1 olur.
• ✅ Bu, sayıların asal çarpanlarına ayrıldığında ortak asal çarpanlarının bulunmaması anlamına gelir.

🧮 Örneklerle Açıklama

Örnek 1:

8 ve 15 sayılarını inceleyelim.

• 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
• 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
• Ortak bölenler: {1}
• Sonuç: \( \text{EBOB}(8, 15) = 1 \) → Aralarında asal

Örnek 2:

14, 25 ve 33 sayıları:

• Bu sayıların hiçbir ortak asal çarpanı yoktur
• \( \text{EBOB}(14, 25, 33) = 1 \)
• Üçü birlikte aralarında asaldır

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

• 🔸 İki sayı aralarında asalsa mutlaka EBOB'ları 1'dir.
• 🔸 EBOB'u 1 olan her sayı çifti aralarında asaldır.
• 🔸 Sayıların kendileri asal olmak zorunda değildir (Örnek: 9 ve 16).
• 🔸 İkiden fazla sayı için de geçerlidir: Tüm sayılar çiftler halinde aralarında asal olmasa bile, grup olarak aralarında asal olabilirler.

🎓 Özet ve Formül

Ana Formül: \( a \) ve \( b \) aralarında asal ise \( \text{EBOB}(a, b) = 1 \)

Pratik Sonuç: Aralarında asal sayılarla işlem yaparken, kesirleri sadeleştirme gibi durumlarda EBOB'larının 1 olduğunu bilmek işlemleri kolaylaştırır. Örneğin, \( \frac{a}{b} \) kesri, \( a \) ve \( b \) aralarında asalsa daha fazla sadeleşemez.

📚 Çalışma Sorusu

Soru: 21 ile 40 sayıları aralarında asal mıdır? EBOB'ları kaçtır?

Cevap: 21 = 3 × 7, 40 = 2³ × 5. Ortak asal çarpan yok. Dolayısıyla aralarında asaldır ve \( \text{EBOB}(21, 40) = 1 \)'dir.

Bu konu, matematikteki daha karmaşık teoremlerin (Öklid algoritması, modüler aritmetik) temelini oluşturduğundan iyi anlaşılması önemlidir.