Sıralı Sayı Kümeleri
Matematikte, bir kümenin sıralı olması için üzerinde tanımlanmış bir "sıralama bağıntısı" (<) olması ve bu bağıntının belirli kuralları sağlaması gerekir. Bu kurallar şunlardır:
- Karşılaştırılabilirlik: Kümedeki herhangi iki farklı \( a \) ve \( b \) elemanı için, ya \( a < b \) ya da \( b < a \) doğru olmalıdır.
- Geçişlilik: Eğer \( a < b \) ve \( b < c \) ise, o zaman \( a < c \) olmalıdır.
- Asimetri: Eğer \( a < b \) ise, \( b < a \) olamaz.
Bu kuralları sağlayan kümeler, elemanlarını soldan sağa doğru artan bir şekilde düz bir çizgi üzerinde düşünebileceğimiz kümelerdir.
Sıralı Olan Temel Sayı Kümeleri
Aşağıdaki temel sayı kümeleri, standart "<" (küçüktür) bağıntısı ile birlikte tamamen sıralıdır:
- Doğal Sayılar (\( \mathbb{N} \)): \( \{0, 1, 2, 3, \dots\} \) veya \( \{1, 2, 3, \dots\} \)
Örnek: \( 1 < 2 < 3 < 4 < \dots \)
- Tam Sayılar (\( \mathbb{Z} \)): \( \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \)
Örnek: \( \dots -2 < -1 < 0 < 1 < 2 \dots \)
- Rasyonel Sayılar (\( \mathbb{Q} \)): \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılar (b ≠ 0).
Örnek: \( \frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1 < \frac{5}{4} \)
- Gerçel Sayılar (\( \mathbb{R} \)): Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar.
Örnek: \( -\sqrt{2} < 0 < \pi < 4 \)
Bu kümelerin tümü, verilen herhangi iki farklı sayıyı karşılaştırabildiğimiz için tam sıralı kümelerdir.
Sıralı Olmayan veya Kısmen Sıralı Olan Kümeler
Her sayı kümesi sıralı değildir. Örneğin:
- Karmaşık Sayılar (\( \mathbb{C} \)): Karmaşık sayılar kümesi üzerinde "küçüktür" (<) ilişkisini, yukarıdaki kuralları sağlayacak şekilde tanımlamak mümkün değildir. \( 3+4i \) ile \( 5+2i \) sayılarından hangisinin daha büyük olduğunu söyleyemeyiz. Bu nedenle karmaşık sayılar sıralı bir küme değildir.
Ayrıca, bazı kümeler kısmen sıralı olabilir. Bu, kümedeki her eleman çiftinin karşılaştırılamayabileceği, ancak sıralamanın diğer kurallarının (geçişlilik gibi) geçerli olduğu anlamına gelir.
Sonuç: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar kümeleri standart sıralama ile tamamen sıralıdır. Karmaşık sayılar kümesi ise sıralı değildir.
