Aralıklarda birleşim kesişim işlemleri örnekleri

Answer 1

Aralıklarda Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Matematikte, özellikle gerçel sayılar üzerinde çalışırken, aralıkların birleşimini ve kesişimini bulmak çok yaygın bir işlemdir. Bu işlemler, iki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarını (kesişim) veya tüm elemanlarını (birleşim) bulmamızı sağlar.

Kesişim (∩) İşlemi

İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan ortak elemanların kümesidir. Kesişim işlemi "∩" sembolü ile gösterilir.

Kural: Kesişimi bulmak için, aralıkların başlangıç değerlerinden büyük olanı ve bitiş değerlerinden küçük olanı alırız.

• Örnek 1: A = [1, 5] ve B = [3, 7] aralıklarının kesişimini bulalım.

  Her iki aralıkta da bulunan sayılar 3 ile 5 (3 ve 5 dahil) arasındadır.

  Sonuç: A ∩ B = [3, 5]
• Örnek 2: C = (2, 6) ve D = (5, 8) aralıklarının kesişimini bulalım.

  Ortak elemanlar 5'ten büyük ve 6'dan küçük olan sayılardır. (5 ve 6 dahil değil).

  Sonuç: C ∩ D = (5, 6)

• Örnek 3 (Ortak Eleman Yok): E = [1, 4] ve F = (5, 9) aralıklarının kesişimini bulalım.

  E aralığı en fazla 4'e kadar, F aralığı ise 5'ten sonra başlar. Ortak bir sayı yoktur.

  Sonuç: E ∩ F = ∅ (Boş Küme)

Birleşim (∪) İşlemi

İki aralığın birleşimi, bu aralıklardan en az birinde bulunan tüm elemanların kümesidir. Birleşim işlemi "∪" sembolü ile gösterilir.

Kural: Birleşimi bulmak için, aralıkların başlangıç değerlerinden küçük olanı ve bitiş değerlerinden büyük olanı alırız. Ancak, aralıklar arasında boşluk varsa birleşim tek bir aralık olarak ifade edilemez.

• Örnek 1: A = [1, 5] ve B = [3, 7] aralıklarının birleşimini bulalım.

  A, 1'den başlar; B, 7'de biter. Tüm bu sayılar birleşim kümesine aittir.

  Sonuç: A ∪ B = [1, 7]

• Örnek 2: C = (2, 4] ve D = [3, 6) aralıklarının birleşimini bulalım.

  En küçük başlangıç 2, en büyük bitiş 6'dır. (2 dahil değil, 6 dahil değil).

  Sonuç: C ∪ D = (2, 6)

• Örnek 3 (Ayrık Kümeler): E = [1, 2] ve F = (3, 5) aralıklarının birleşimini bulalım.

  Bu iki aralığın ortak elemanı yoktur ve aralarında boşluk vardır. Bu durumda birleşimi, aralıkları ayrı ayrı yazarak ifade ederiz.

  Sonuç: E ∪ F = [1, 2] ∪ (3, 5)

Karmaşık Bir Örnek

G = (-∞, 3] ve H = (1, ∞) aralıklarını ele alalım.

• Kesişim: Ortak elemanlar 1'den büyük (1 dahil değil) ve 3'ten küçük-eşit (3 dahil) olan sayılardır.

  G ∩ H = (1, 3]

• Birleşim: G aralığı negatif sonsuza kadar gider, H aralığı ise pozitif sonsuza kadar gider. 1 ile 3 arasındaki boşluk da her iki kümeden biri tarafından kapatıldığı için, birleşim tüm gerçel sayılardır.

  G ∪ H = (-∞, ∞) = \( \mathbb{R} \)