Aritmetik dizi ortak fark (r) nedir

Question

Aritmetik dizilerde ortak fark kavramını tam olarak anlayamadım. Mesela her terimde toplanan veya çıkarılan sabit sayının nasıl bulunduğunu karıştırıyorum. Özellikle artan ve azalan dizilerde bu farkı nasıl belirleyeceğim konusunda kafam karışık.

Answer 1

📈 Aritmetik Dizi ve Ortak Fark (r)

Bir aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle r veya d harfi ile gösterilir.

🎯 Ortak Fark (r) Nasıl Bulunur?

Bir aritmetik dizide herhangi bir terimden bir sonraki terimi bulmak için ortak farkı ekleriz. Ortak farkı hesaplamak için dizinin ardışık iki terimi arasındaki fark alınır:

\[ r = a_{n+1} - a_n \]

Burada:

• ➡️ \( a_{n+1} \): Dizinin (n+1). terimi
• ➡️ \( a_n \): Dizinin n. terimi

💡 Örneklerle Açıklama

Örnek 1: 2, 5, 8, 11, 14,... dizisi

• ✅ 5 - 2 = 3
• ✅ 8 - 5 = 3
• ✅ 11 - 8 = 3

Bu dizide ortak fark r = 3'tür.

Örnek 2: 20, 15, 10, 5, 0,... dizisi

• ✅ 15 - 20 = -5
• ✅ 10 - 15 = -5

Bu dizide ortak fark r = -5'tir. Ortak fark negatif de olabilir!

📌 Önemli Noktalar

• 🔹 Ortak fark pozitifse dizi artandır
• 🔹 Ortak fark negatifse dizi azalandır
• 🔹 Ortak fark sıfırsa tüm terimler eşittir
• 🔹 Ortak fark her zaman aynı olmalıdır, aksi halde dizi aritmetik dizi değildir

🧮 Genel Terim Formülü

Bir aritmetik dizinin genel terimi şu formülle bulunur:

\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \]

Burada:

• ➡️ \( a_n \): n. terim
• ➡️ \( a_1 \): ilk terim
• ➡️ \( r \): ortak fark
• ➡️ \( n \): terim numarası

Örneğin, ilk terimi 7 ve ortak farkı 4 olan bir dizinin 10. terimi: \( a_{10} = 7 + (10-1) \cdot 4 = 7 + 36 = 43 \) olur.