Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100 den küçük sayılar nedir?

Question

Bu soruyu çözmeye çalışırken biraz kafam karıştı. Asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan bir sayının 2a x 7b şeklinde olması gerektiğini anladım. Ancak 100'den küçük tüm olası a ve b değerlerini bulmakta zorlandım, bazılarını atlamış olabilirim.

Answer 1

Konu Açıklaması

Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı kalansız bölen asal sayılardır. Bu soruda, asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan 100'den küçük sayıları bulmamız isteniyor.

Sayıların Genel Formu

Asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan bir sayı, bu asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu nedenle aradığımız sayıların genel formu:

\( 2^a \times 7^b \)

Burada a ve b pozitif tam sayılardır (0 olabilir mi diye düşünebilirsiniz, ancak 0 olsaydı o asal çarpan yok demektir. Soru "asal çarpanları 2 ve 7 olan" dediği için her ikisi de en az birer kere bulunmalıdır. Yani a ≥ 1 ve b ≥ 1 olmalıdır).

Sayıları Bulma Yöntemi

100'den küçük sayıları bulmak için a ve b değerlerini deneyerek ilerleyeceğiz. İşlem sırasını takip etmek için a değerini sabit tutup b'yi değiştirmek uygun olacaktır.

• a = 1 için: Sayılarımız \( 2^1 \times 7^b = 2 \times 7^b \) formunda olur.
  • b=1 → \( 2 \times 7 = 14 \) (100'den küçük)
  • b=2 → \( 2 \times 49 = 98 \) (100'den küçük)
  • b=3 → \( 2 \times 343 = 686 \) (100'den büyük, dur)
  Buradan: 14, 98
• a = 2 için: Sayılarımız \( 2^2 \times 7^b = 4 \times 7^b \) formunda olur.
  • b=1 → \( 4 \times 7 = 28 \) (100'den küçük)
  • b=2 → \( 4 \times 49 = 196 \) (100'den büyük, dur)
  Buradan: 28
• a = 3 için: Sayılarımız \( 2^3 \times 7^b = 8 \times 7^b \) formunda olur.
  • b=1 → \( 8 \times 7 = 56 \) (100'den küçük)
  • b=2 → \( 8 \times 49 = 392 \) (100'den büyük, dur)
  Buradan: 56
• a = 4 için: Sayılarımız \( 2^4 \times 7^b = 16 \times 7^b \) formunda olur.
  • b=1 → \( 16 \times 7 = 112 \) (100'den büyük, dur)
  Buradan sonuç yok.

Sonuç

Yaptığımız işlemler sonucunda, asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan 100'den küçük sayılar aşağıdaki gibidir:

• 14
• 28
• 56
• 98

Bu sayıların her biri \( 2^a \times 7^b \) formunda yazılabilir ve 1 ile kendisi dışında başka asal böleni yoktur.