Astronomi, çok büyük uzaklıklar, çok büyük kütleler ve çok küçük açılar ile uğraşan bir bilim dalıdır. Bu nedenle, bu aşırı büyük ve küçük sayıları ifade etmek için üslü ifadeler ve bazen de bu ifadelerle işlem yapmak için köklü ifadeler kullanmak zorunludur.
Astronomide en sık karşılaşılan durum, bilimsel gösterimdir. Bir sayıyı \( a \times 10^n \) formatında yazmaya bilimsel gösterim denir. Burada \( a \), 1 ile 10 arasında bir sayı, \( n \) ise bir tam sayıdır.
Bu gösterim, hesaplamaları inanılmaz derecede kolaylaştırır. Örneğin, iki büyük sayıyı çarpmak için üsleri toplar, katsayıları çarparız.
Köklü ifadeler, astronomide genellikle formüller içinde karşımıza çıkar. Özellikle hacim, uzaklık veya kütle çekim kuvveti gibi hesaplamalarda karekök ve küpköke ihtiyaç duyulur.
Önemli Bir Örnek: Kepler'in Üçüncü Yasası
Kepler'in Üçüncü Yasası, bir gezegenin yörünge periyodu (\( T \)) ile yıldızına olan ortalama uzaklığı (\( r \)) arasındaki ilişkiyi verir:
\[ T^2 \propto r^3 \]
Bu formülü, periyodu (\( T \)) bulmak için yeniden düzenlediğimizde karekök ifadesine ihtiyaç duyarız:
\[ T \propto \sqrt{r^3} \]
Ya da uzaklığı (\( r \)) bulmak için küpkök ifadesine ihtiyaç duyarız:
\[ r \propto \sqrt[3]{T^2} \]
Burada \( \sqrt{} \) işareti karekök, \( \sqrt[3]{} \) işareti ise küpkök anlamına gelir.
Problem: Güneş'in kütlesi \( M = 2 \times 10^{30} \) kg ve Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığı \( r = 1.5 \times 10^{11} \) m ise, Dünya'nın yörünge hızı (\( v \)) yaklaşık olarak nedir? (Yerçekimi Sabiti \( G = 6.67 \times 10^{-11} \) Nm²/kg²)
Çözüm: Merkezcil kuvvetin, kütleçekim kuvvetine eşit olduğunu varsayarsak formülümüz:
\[ \frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2} \]
\( m \) (Dünya'nın kütlesi) sadeleşir. Formülü \( v \) için çözersek:
\[ v^2 = \frac{G M}{r} \]
\[ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \]
Görüldüğü gibi sonuç bir karekök içermektedir. Şimdi sayıları yerine koyalım:
\[ v = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (2 \times 10^{30})}{1.5 \times 10^{11}}} \]
Önce paydaki üslü ifadeleri çarpalım: \( 10^{-11} \times 10^{30} = 10^{19} \)
\[ v = \sqrt{\frac{6.67 \times 2 \times 10^{19}}{1.5 \times 10^{11}}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{13.34 \times 10^{19}}{1.5 \times 10^{11}}} \]
\[ v = \sqrt{8.89 \times 10^{8}} \]
\[ v = \sqrt{8.89} \times \sqrt{10^{8}} \]
\[ v \approx 2.98 \times 10^{4} \ \text{m/s} \]
Sonuç olarak, Dünya'nın yörüngedeki hızı yaklaşık \( 3 \times 10^4 \) m/s ya da 30 km/s'dir. Bu hesaplama, üslü ve köklü ifadelerin astronomide nasıl bir arada kullanıldığının mükemmel bir örneğidir.
