🧮 Geometrik Dizi Nedir?
Geometrik dizi, her teriminin bir önceki terime sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilen sayı dizisidir. Bu sabit sayıya
ortak çarpan denir ve genellikle $r$ ile gösterilir.
- ➕ İlk Terim: Dizinin ilk sayısına ilk terim denir ve genellikle $a_1$ ile gösterilir.
- ➗ Ortak Çarpan: Bir terimin kendinden önceki terime oranı sabittir ve bu sabite ortak çarpan denir. $r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = ...$
📐 Geometrik Dizi Formülleri
*
Genel Terim Formülü: Bir geometrik dizinin $n$. terimi ($a_n$) aşağıdaki formülle bulunur:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
Burada:
* $a_n$: $n$. terim
* $a_1$: İlk terim
* $r$: Ortak çarpan
* $n$: Terim sayısı
*
İlk $n$ Terim Toplamı Formülü: Bir geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı ($S_n$) aşağıdaki formülle bulunur:
$S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$ (Eğer $r \neq 1$ ise)
Eğer $r = 1$ ise, $S_n = n \cdot a_1$ olur.
*
Ortanca Terim: Bir geometrik dizide ortanca terim, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir. Yani, $a_k = \sqrt{a_{k-p} \cdot a_{k+p}}$
➕ Örnek Soru 1
İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?
Çözüm:
$a_1 = 3$, $r = 2$, $n = 5$
$a_5 = a_1 \cdot r^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$
➗ Örnek Soru 2
Bir geometrik dizinin ilk terimi 5 ve ortak çarpanı 3'tür. Bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı kaçtır?
Çözüm:
$a_1 = 5$, $r = 3$, $n = 4$
$S_4 = a_1 \cdot \frac{1-r^4}{1-r} = 5 \cdot \frac{1-3^4}{1-3} = 5 \cdot \frac{1-81}{-2} = 5 \cdot \frac{-80}{-2} = 5 \cdot 40 = 200$
📐 Örnek Soru 3
Bir geometrik dizide $a_3 = 4$ ve $a_5 = 16$ ise, $a_4$ kaçtır?
Çözüm:
$a_4 = \sqrt{a_3 \cdot a_5} = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8$
