🎨 Hiperbol Nedir?
Hiperbol, düzlemde sabit iki noktaya (odak noktaları) olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri sabit olan noktaların geometrik yeridir. Kısaca, iki odaktan uzaklıkları farkı hep aynı olan noktaların oluşturduğu eğridir.
🌈 Hiperbolün Temel Elemanları
- 🍎 Odak Noktaları (F, F'): Hiperbolü tanımlayan iki sabit noktadır.
- 🚀 Merkez (O): Odak noktalarının orta noktasıdır. Aynı zamanda hiperbolün simetri merkezidir.
- 🌌 Asimptotlar: Hiperbole sonsuzda yaklaşan doğrulardır. Hiperbolün kollarının sonsuza doğru uzarken yaklaştığı ama asla kesişmediği hayali çizgilerdir.
- 🌠 Köşeler (A, A'): Hiperbolün eksenleri kestiği noktalardır.
- 🎯 Eksenler:
- Asal (Gerçek) Eksen: Köşeleri birleştiren ve uzunluğu $2a$ olan eksendir.
- Sanal (İmajiner) Eksen: Merkezin diğer tarafında, asal eksene dik olan ve uzunluğu $2b$ olan eksendir.
🎈 Hiperbolün Denklemi
Hiperbolün denklemi, koordinat sistemindeki konumuna ve yönüne göre değişir.
⭐ Merkezil Hiperbol (Merkezi O(0,0) olan)
Eğer hiperbolün merkezi orijin noktasında (0,0) ise denklemi şu şekildedir:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (yatay hiperbol)
veya
$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ (dikey hiperbol)
Burada:
* $a$, asal eksenin yarısı
* $b$, sanal eksenin yarısı
✨ Genel Hiperbol Denklemi
Merkezi $(h, k)$ noktasında olan bir hiperbolün denklemi ise:
$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ (yatay)
veya
$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ (dikey)
💡 Önemli Özellikler ve İlişkiler
- 🔥 Odak Uzaklığı: Odak noktaları arasındaki uzaklığa odak uzaklığı denir ve $2c$ ile gösterilir. $c^2 = a^2 + b^2$ ilişkisi vardır.
- 💫 Asimptot Denklemleri: Merkezi orijinde olan bir hiperbol için asimptot denklemleri $y = \pm \frac{b}{a}x$ şeklindedir. Genel durumda ise asimptot denklemleri, hiperbolün denklemine göre bulunur.
- 🔑 Dış Merkezlik (e): Hiperbolün ne kadar "açık" olduğunu gösteren bir değerdir. $e = \frac{c}{a}$ formülü ile bulunur ve daima 1'den büyüktür ($e > 1$).
📌 Hiperbol Çeşitleri
- 🌀 Eşkenar Hiperbol: Eğer $a = b$ ise, yani asal ve sanal eksen uzunlukları eşitse, bu hiperbole eşkenar hiperbol denir. Eşkenar hiperbolün asimptotları birbirine diktir. Denklemi $x^2 - y^2 = a^2$ şeklindedir (merkezi orijinde ise).
