🧮 Binom Açılımı Nedir?
Binom açılımı, $(a + b)^n$ şeklindeki bir ifadenin, $n$ bir doğal sayı olmak üzere, terimlerinin nasıl açılacağını gösterir. Yani, $(a + b)$'yi kendisiyle $n$ defa çarptığımızda ne elde ederiz sorusunun cevabını verir.
- 💡 Katsayılar: Binom açılımındaki katsayılar Pascal Üçgeni yardımıyla veya kombinasyon formülüyle bulunur.
- ➕ Terimler: Açılımda her bir terim, $a$ ve $b$'nin farklı kuvvetlerinin çarpımı şeklindedir.
🤔 ÖSYM Binom'dan Ne Sordu?
ÖSYM, AYT matematik sınavında binom açılımı ile ilgili genellikle aşağıdaki konulara değinen sorular sormuştur:
- 🔢 Katsayı Bulma: Açılımda belirli bir terimin katsayısını bulma.
- 🔍 Sabit Terim: Açılımda değişken içermeyen (sabit) terimi bulma.
- ➕ Terim Sayısı: Açılımın kaç terimden oluştuğunu belirleme.
- 🧮 Pascal Üçgeni: Pascal Üçgeni ile binom katsayıları arasındaki ilişkiyi kullanma.
➕ Katsayı Bulma Soruları
Bu tip sorularda, genel terimi yazarak istenen terime ulaşmaya çalışırız. Genel terim formülü şöyledir:
$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
Örnek: $(2x + 1)^5$ açılımında $x^3$'lü terimin katsayısını bulalım.
- 🍎 Adım 1: Genel terimi yazalım: $T_{k+1} = \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (1)^k$
- 🍎 Adım 2: $x$'in kuvvetinin 3 olmasını istiyoruz, yani $5-k = 3$ olmalı. Buradan $k = 2$ bulunur.
- 🍎 Adım 3: $k = 2$'yi yerine yazalım: $T_{2+1} = \binom{5}{2} (2x)^{3} (1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3$
- 🍎 Sonuç: $x^3$'lü terimin katsayısı 80'dir.
🔍 Sabit Terim Soruları
Sabit terim, içinde değişken (örneğin $x$) bulunmayan terimdir. Sabit terimi bulmak için, genel terimde $x$'in kuvvetini sıfır yapacak $k$ değerini buluruz.
Örnek: $(x^2 - \frac{1}{x})^9$ açılımındaki sabit terimi bulalım.
- 🍎 Adım 1: Genel terimi yazalım: $T_{k+1} = \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} (-\frac{1}{x})^k$
- 🍎 Adım 2: $x$'in kuvvetini bulalım: $x^{2(9-k)} \cdot x^{-k} = x^{18-2k-k} = x^{18-3k}$
- 🍎 Adım 3: Sabit terim için $18 - 3k = 0$ olmalı. Buradan $k = 6$ bulunur.
- 🍎 Adım 4: $k = 6$'yı yerine yazalım: $T_{6+1} = \binom{9}{6} (x^2)^{3} (-\frac{1}{x})^6 = \binom{9}{6} \cdot 1 \cdot 1 = 84$
- 🍎 Sonuç: Sabit terim 84'tür.
➕ Terim Sayısı Soruları
$(a + b)^n$ açılımında terim sayısı $n + 1$'dir. Bu basit kuralı unutmamak önemlidir.
Örnek: $(3x - 2y)^{10}$ açılımı kaç terimlidir?
- 🍎 Cevap: $n = 10$ olduğundan, terim sayısı $10 + 1 = 11$'dir.
🎯 Sınava Hazırlık İpuçları
* 📝 Bol bol soru çözerek farklı soru tiplerini tanıyın.
* 📚 Formülleri ezberlemek yerine mantığını anlamaya çalışın.
* ⏱️ Deneme sınavlarında binom sorularına özellikle dikkat edin ve zamanınızı iyi yönetin.
* 🍎 Çözemediğiniz soruları mutlaka öğretmenlerinize veya arkadaşlarınıza sorun.
