➕ Dizi Nedir?
Dizi, belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğudur. Her bir sayıya dizinin terimi denir. Diziler genellikle $a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...$ şeklinde gösterilir. Burada $a_1$ ilk terimi, $a_2$ ikinci terimi, $a_n$ ise n'inci terimi temsil eder.
- 🔢 Terim: Diziyi oluşturan her bir sayı.
- ♾️ Sonlu Dizi: Belirli sayıda terimi olan dizi. Örneğin: 2, 4, 6, 8, 10.
- ♾️ Sonsuz Dizi: Terim sayısı sonsuz olan dizi. Örneğin: 1, 2, 3, 4, ...
➕ Aritmetik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle 'd' ile gösterilir.
- ➕ Ortak Fark (d): Ardışık iki terim arasındaki farktır. $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = ...$
- ✍️ Genel Terim: Bir aritmetik dizinin n'inci terimi şu formülle bulunur: $a_n = a_1 + (n-1)d$
- ➕ Örnek: 2, 5, 8, 11, ... (Burada ortak fark d = 3)
➕ Geometrik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve genellikle 'r' ile gösterilir.
- ➗ Ortak Çarpan (r): Ardışık iki terim arasındaki orandır. $r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = ...$
- ✍️ Genel Terim: Bir geometrik dizinin n'inci terimi şu formülle bulunur: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
- ➗ Örnek: 3, 6, 12, 24, ... (Burada ortak çarpan r = 2)
➗ Seri Nedir?
Bir dizinin terimlerinin toplamına seri denir. Eğer dizi sonlu ise seri de sonludur; dizi sonsuz ise seri de sonsuzdur.
- ➕ Sonlu Seri: Bir sonlu dizinin terimlerinin toplamı. Örneğin: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
- ♾️ Sonsuz Seri: Bir sonsuz dizinin terimlerinin toplamı. Örneğin: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
➗ Aritmetik Serinin Toplamı
Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı şu formülle bulunur:
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ veya $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$
- ➕ $S_n$: İlk n terimin toplamı.
- $a_1$: İlk terim.
- $a_n$: n'inci terim.
- n: Terim sayısı.
- d: Ortak fark.
➗ Geometrik Serinin Toplamı
Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı şu formülle bulunur:
$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$ (r ≠ 1)
Eğer $|r| < 1$ ise, sonsuz geometrik serinin toplamı:
$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$
- ➗ $S_n$: İlk n terimin toplamı.
- $a_1$: İlk terim.
- r: Ortak çarpan.
- ♾️ $S_\infty$: Sonsuz terimli geometrik serinin toplamı.
