Rasyonel fonksiyonun tersi (ax+b)/(cx+d)

Question

Bu fonksiyonun tersini alırken x'i yalnız bırakmakta zorlanıyorum. Paydadaki x yüzünden işlemler karışıyor ve son adımda tersini bulmak için hangi işlemleri yapmam gerektiğini karıştırıyorum.

Answer 1

# Rasyonel Fonksiyonun Tersi (ax+b)/(cx+d)

📚 Konu: Rasyonel Fonksiyonların Tersi

Bu ders notunda, f(x) = (ax+b)/(cx+d) formundaki rasyonel fonksiyonların tersini bulma yöntemlerini öğreneceğiz. Bu tür fonksiyonların tersini almak için izleyeceğimiz sistematik bir yöntem bulunmaktadır.

🎯 Temel Tanım ve Yöntem

Bir fonksiyonun tersini bulmak için temel adım, y = f(x) denklemini x cinsinden çözmek ve ardından x ile y'yi yer değiştirmektir.

Fonksiyonumuz: f(x) = (ax+b)/(cx+d)

🔢 Ters Fonksiyon Bulma Adımları

• 📝 1. Adım: y = (ax+b)/(cx+d) yazalım
• 📝 2. Adım: Denklemi x cinsinden çözelim
• 📝 3. Adım: x ve y'yi yer değiştirelim
• 📝 4. Adım: Ters fonksiyonu f⁻¹(x) olarak ifade edelim

🧮 Çözüm Yöntemi

y = (ax+b)/(cx+d) denklemini çözmek için:

• y(cx+d) = ax+b
• cxy + dy = ax + b
• cxy - ax = b - dy
• x(cy - a) = b - dy
• x = (b - dy)/(cy - a)

Şimdi x ve y'yi yer değiştirelim:

y = (b - dx)/(cx - a)

Dolayısıyla ters fonksiyon:

f⁻¹(x) = (b - dx)/(cx - a)

📊 Örnek Çözüm

Örnek: f(x) = (2x+3)/(x-1) fonksiyonunun tersini bulalım.

• y = (2x+3)/(x-1)
• y(x-1) = 2x+3
• xy - y = 2x + 3
• xy - 2x = y + 3
• x(y-2) = y+3
• x = (y+3)/(y-2)

x ve y yer değiştirirse:

f⁻¹(x) = (x+3)/(x-2)

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🚫 Paydanın sıfır olmamasına dikkat edilmelidir
• 📈 Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun görüntü kümesidir
• 🔍 Ters fonksiyonun varlığı için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir

💡 Pratik Yöntem

f(x) = (ax+b)/(cx+d) fonksiyonunun tersini bulmak için katsayıları matris gibi düşünebiliriz:

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \]

Ters fonksiyonun katsayıları, bu matrisin tersinin elemanlarına karşılık gelir (determinant ile çarpılmış hali):

\[ f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{-cx + a} \]

Bu yöntemle, f(x) = (ax+b)/(cx+d) fonksiyonunun tersinin f⁻¹(x) = (dx-b)/(-cx+a) olduğunu hızlıca bulabiliriz.