AYT Matematik Doğrusal Denklem Sistemleri: Konu Anlatımı ve Örnek Çözümler

Question

Doğrusal denklem sistemlerini çözmekte zorlanıyorum. Konuyu tam olarak anlamadım ve örnek çözümlere ihtiyacım var. Nasıl çözüldüğünü görerek daha iyi öğrenebilirim.

Answer 1

🧮 Doğrusal Denklem Sistemleri Nedir?

Doğrusal denklem sistemleri, birden fazla doğrusal denklemin bir araya gelmesiyle oluşur. Bu denklemlerdeki bilinmeyenlerin (genellikle x ve y) değerlerini bulmaya çalışırız.

🎯 Temel Kavramlar

• 🍎 Doğrusal Denklem: İçinde sadece bilinmeyenlerin birinci dereceden kuvvetlerinin bulunduğu denklemlerdir. Örneğin: $2x + 3y = 5$
• 🍎 Bilinmeyen: Denklemde değeri bulunması gereken harflerdir. Genellikle x ve y kullanılır.
• 🍎 Çözüm Kümesi: Denklem sistemini sağlayan (yani doğru yapan) x ve y değerlerinin oluşturduğu kümedir.

✍️ Denklem Sistemleri Nasıl Çözülür?

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için birkaç farklı yöntem vardır. En yaygın kullanılan yöntemler şunlardır:

➕ Yok Etme Yöntemi

Bu yöntemde, denklemleri taraf tarafa toplayarak veya çıkararak bir bilinmeyeni yok etmeye çalışırız.

Örnek:

Aşağıdaki denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim:

$2x + y = 7$

$x - y = 2$

Çözüm:

Denklemleri taraf tarafa topladığımızda y'ler birbirini götürür:

$3x = 9$

Buradan $x = 3$ bulunur.

x'in değerini herhangi bir denklemde yerine yazarak y'yi bulabiliriz. Örneğin, ikinci denklemde:

$3 - y = 2$

Buradan $y = 1$ bulunur.

Çözüm kümesi: $(3, 1)$

➖ Yerine Koyma Yöntemi

Bu yöntemde, bir denklemden bir bilinmeyeni çekip diğer denklemde yerine yazarız.

Örnek:

Aşağıdaki denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözelim:

$x + 2y = 5$

$x = y + 2$

Çözüm:

İkinci denklemde x zaten yalnız bırakılmış. Bu değeri birinci denklemde yerine yazalım:

$(y + 2) + 2y = 5$

$3y + 2 = 5$

$3y = 3$

Buradan $y = 1$ bulunur.

y'nin değerini ikinci denklemde yerine yazarak x'i bulabiliriz:

$x = 1 + 2$

$x = 3$

Çözüm kümesi: $(3, 1)$

📝 Örnek Sorular ve Çözümleri

Şimdi de farklı türlerde örnek sorular çözelim:

1. 💡 Soru 1:

   Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:

   $x + y = 4$

   $x - y = 2$

   Çözüm:

   Denklemleri taraf tarafa topladığımızda y'ler gider:

   $2x = 6$

   $x = 3$

   x'i ilk denklemde yerine yazarsak:

   $3 + y = 4$

   $y = 1$

   Çözüm kümesi: $(3, 1)$

2. 💡 Soru 2:

   Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:

   $2x - y = 3$

   $4x + y = 9$

   Çözüm:

   Denklemleri taraf tarafa topladığımızda y'ler gider:

   $6x = 12$

   $x = 2$

   x'i ilk denklemde yerine yazarsak:

   $2(2) - y = 3$

   $4 - y = 3$

   $y = 1$

   Çözüm kümesi: $(2, 1)$

3. 💡 Soru 3:

   Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:

   $x + y = 5$

   $2x + 2y = 10$

   Çözüm:

   İkinci denklem, birinci denklemin 2 ile çarpılmış halidir. Bu durumda, denklemler aslında aynı şeyi ifade ediyor. Sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu tür denklemlere bağımlı denklem sistemi denir.