🧮 Doğrusal Denklem Sistemleri Nedir?
Doğrusal denklem sistemleri, birden fazla doğrusal denklemin bir araya gelmesiyle oluşur. Bu denklemlerdeki bilinmeyenlerin değerlerini bulmaya çalışırız. Genellikle iki veya daha fazla denklem ve iki veya daha fazla bilinmeyen bulunur.
📐 Temel Kavramlar ve Tanımlar
*
Doğrusal Denklem: İçinde bilinmeyenlerin (x, y, z gibi) sadece birinci dereceden kuvvetlerinin bulunduğu denklemlerdir. Örneğin: $2x + 3y = 5$
*
Bilinmeyen: Denklemde değeri bulunmaya çalışılan değişkenlerdir.
*
Çözüm Kümesi: Denklem sistemini sağlayan tüm (x, y) veya (x, y, z) gibi sıralı ikililerin/üçlülerin kümesidir.
📝 Doğrusal Denklem Sistemlerinin Gösterimi
Doğrusal denklem sistemleri genellikle aşağıdaki gibi gösterilir:
$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$
Burada:
* $x$ ve $y$ bilinmeyenlerdir.
* $a_1, b_1, a_2, b_2$ bilinmeyenlerin katsayılarıdır.
* $c_1$ ve $c_2$ sabit terimlerdir.
🔑 Çözüm Yöntemleri
Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için birkaç farklı yöntem vardır:
➕ Yok Etme Yöntemi
Bu yöntemde, denklemlerden birindeki bilinmeyenlerden birinin katsayısını uygun bir sayıyla çarparak, diğer denklemdeki aynı bilinmeyenin katsayısıyla eşit hale getiririz. Daha sonra denklemleri taraf tarafa toplayarak veya çıkararak bir bilinmeyeni yok ederiz.
- 🍎 Denklemleri alt alta yaz.
- 🍎 Bir bilinmeyenin katsayılarını eşitle.
- 🍎 Denklemleri topla veya çıkar.
- 🍎 Kalan bilinmeyeni bul.
- 🍎 Bulunan değeri yerine koyarak diğer bilinmeyeni bul.
↔️ Yerine Koyma Yöntemi
Bu yöntemde, denklemlerden birinden bir bilinmeyeni yalnız bırakıp, diğer denklemde yerine yazarız. Böylece tek bilinmeyenli bir denklem elde eder ve bu denklemi çözerek bilinmeyenin değerini buluruz.
- 🍎 Bir denklemde bir bilinmeyeni yalnız bırak.
- 🍎 Diğer denklemde yerine yaz.
- 🍎 Tek bilinmeyenli denklemi çöz.
- 🍎 Bulunan değeri yerine koyarak diğer bilinmeyeni bul.
📊 Grafik Yöntemi
Bu yöntemde, her bir doğrusal denklemi bir doğru olarak çizeriz. Doğruların kesişim noktası, denklem sisteminin çözümünü verir. Eğer doğrular paralel ise çözüm yoktur; eğer doğrular çakışık ise sonsuz sayıda çözüm vardır.
- 🍎 Her denklemi bir doğru olarak çiz.
- 🍎 Kesişim noktasını bul.
- 🍎 Kesişim noktası çözüm kümesini verir.
🔢 Denklem Sisteminin Çözüm Durumları
Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm durumları şunlardır:
*
Tek Çözüm: Doğrular tek bir noktada kesişir.
*
Çözüm Yok: Doğrular paraleldir ve kesişmezler.
*
Sonsuz Çözüm: Doğrular çakışıktır.
📌 Örnek Soru Çözümü
Soru:
$2x + y = 7$
$x - y = 2$
Denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözünüz.
Çözüm:
İlk denklemi $2x + y = 7$ ve ikinci denklemi $x - y = 2$ olarak alalım. İkinci denklemdeki '-y' ve birinci denklemdeki '+y' birbirini götürecek şekilde düzenlenmiş. Bu durumda denklemleri taraf tarafa toplarız:
$(2x + y) + (x - y) = 7 + 2$
$3x = 9$
$x = 3$
Şimdi x'in değerini herhangi bir denklemde yerine koyarak y'yi bulalım. İkinci denklemi kullanalım:
$3 - y = 2$
$y = 1$
Çözüm kümesi: $(3, 1)$
