🎨 Karmaşık Sayılar Dünyasına Giriş
Karmaşık sayılar, gerçek sayıların ötesinde bir sayı sistemidir. Günlük hayatta kullandığımız sayılara ek olarak, "sanal" bir birim olan $\mathbf{i}$'yi içerirler. $\mathbf{i}$, $\mathbf{i^2 = -1}$ olacak şekilde tanımlanır.
- 💡 Karmaşık Sayı Nedir? Karmaşık sayı, $a + bi$ şeklinde ifade edilen bir sayıdır. Burada $a$ ve $b$ gerçek sayılardır.
- 🍎 $a$, karmaşık sayının gerçek kısmı (Re(z)) olarak adlandırılır.
- 🍏 $b$, karmaşık sayının sanal kısmı (Im(z)) olarak adlandırılır.
- ✨ Örnekler:
- 🍉 $3 + 2i$: Gerçek kısım 3, sanal kısım 2'dir.
- 🍓 $-1 - i$: Gerçek kısım -1, sanal kısım -1'dir.
- 🥝 $5i$: Gerçek kısım 0, sanal kısım 5'tir.
- 🍇 $7$: Gerçek kısım 7, sanal kısım 0'dır (yani aslında bir karmaşık sayıdır!).
📐 Karmaşık Sayıların Geometrik Gösterimi
Karmaşık sayıları bir düzlem üzerinde gösterebiliriz. Bu düzleme
karmaşık düzlem veya
Argand düzlemi denir.
- 📌 Karmaşık Düzlem:
- 🍎 Yatay eksen (x ekseni) gerçek eksendir. Karmaşık sayının gerçek kısmı bu eksende gösterilir.
- 🍏 Dikey eksen (y ekseni) sanal eksendir. Karmaşık sayının sanal kısmı bu eksende gösterilir.
- 📍 Gösterim: $z = a + bi$ karmaşık sayısı, karmaşık düzlemde $(a, b)$ noktası ile temsil edilir. Yani, gerçek kısım x koordinatını, sanal kısım y koordinatını verir.
- 🧭 Örnek: $z = 2 + 3i$ karmaşık sayısı, karmaşık düzlemde $(2, 3)$ noktasına karşılık gelir.
💫 Karmaşık Sayının Modülü
Bir karmaşık sayının modülü, o sayının karmaşık düzlemdeki orijine olan uzaklığıdır. $z = a + bi$ karmaşık sayısının modülü $|z|$ ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır:
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
- 📏 Anlamı: Modül, karmaşık sayının "büyüklüğünü" veya "şiddetini" temsil eder.
- 📐 Geometrik Yorumu: Karmaşık düzlemde, karmaşık sayıyı temsil eden noktanın orijine olan uzaklığıdır. Pisagor teoremi ile kolayca hesaplanabilir.
- 🔑 Örnek: $z = 3 + 4i$ karmaşık sayısının modülü: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
🧭 Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği, o sayının sanal kısmının işaret değiştirilmiş halidir. $z = a + bi$ karmaşık sayısının eşleniği $\overline{z}$ ile gösterilir ve $\overline{z} = a - bi$ şeklinde tanımlanır.
- 🔄 Geometrik Yorumu: Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayının eşleniği, o sayının gerçek eksene göre simetriğidir.
- 💡 Özellikler:
- 🍎 $z + \overline{z} = 2a$ (Her zaman gerçektir)
- 🍏 $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ (Her zaman gerçektir ve modülün karesine eşittir)
- ✨ Örnek: $z = 1 - 2i$ karmaşık sayısının eşleniği: $\overline{z} = 1 + 2i$
