📐 Belirli İntegral Nedir?
Belirli integral, bir fonksiyonun iki sınır arasındaki toplam değişimini, alanını veya birikimini hesaplamak için kullanılan temel bir analiz yöntemidir. İntegralin alt ve üst sınırları vardır ve sonuç belirli bir sayıdır.
🎯 Temel Amacı
Belirli integralin en yaygın kullanımı, bir fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplamaktır.
📝 Matematiksel Gösterim
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \)'dan \( b \)'ye kadar olan belirli integrali şu şekilde gösterilir:
\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx
\]
- \( a \) → Alt sınır 📉
- \( b \) → Üst sınır 📈
- \( f(x) \) → İntegrali alınacak fonksiyon
- \( dx \) → Integralin x'e göre alındığını belirtir
🧮 Hesaplama Yöntemi: Kalkülüsün Temel Teoremi
Belirli integral, ilkeli (antitürev) bulma yoluyla hesaplanır:
- 📌 Fonksiyonun ilkelini bul (\( F(x) \))
- 📌 Bu ilkeli üst ve alt sınırlarda değerlendir
- 📌 Üst sınır değerinden alt sınır değerini çıkar
\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
\]
Burada \( F(x) \), \( f(x) \)'in bir ilkelidir (yani \( F'(x) = f(x) \)).
🔍 Örnek Hesaplama
\( \int_{1}^{3} 2x \, dx \) integralini hesaplayalım:
- ✅ \( 2x \)'in ilkeli: \( x^2 \)
- ✅ Üst sınırda değerlendir: \( 3^2 = 9 \)
- ✅ Alt sınırda değerlendir: \( 1^2 = 1 \)
- ✅ Farkı al: \( 9 - 1 = 8 \)
Sonuç: \( \int_{1}^{3} 2x \, dx = 8 \)
🌟 Önemli Özellikler
- 📏 Sınırların yer değiştirmesi: \( \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx \)
- ➕ Toplama özelliği: \( \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx \)
- 📐 Aralık bölme: \( \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \)
💼 Gerçek Hayat Uygulamaları
- 🏗️ Mühendislik: Yapıların kesit alanlarının hesaplanması
- 📊 Ekonomi: Belirli bir zaman aralığındaki toplam kârın bulunması
- 🚀 Fizik: Bir cismin belirli bir zaman aralığında aldığı yolun hesaplanması
- 📈 İstatistik: Olasılık dağılımlarında belirli aralıkların hesaplanması
