Matematikte, özellikle kalkülüs (calculus) alanında, türev bir fonksiyonun değişim hızını ölçen temel bir kavramdır. Bir başka deyişle, türev bize bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını veya eğimini verir.
Günlük hayattan bir örnekle açıklamak gerekirse: Arabanızın hız göstergesi, konumunuzun zamana göre türevini gösterir. Yani herhangi bir andaki anlık hızınız, o andaki konum-zaman fonksiyonunun türevidir.
Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi, aşağıdaki limit ile tanımlanır:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
Bu formül, "f fonksiyonunun a noktasındaki türevi" olarak okunur ve fonksiyonun o noktadaki teğet doğrusunun eğimini verir.
Türevin en önemli geometrik anlamı, fonksiyon grafiğine çizilen teğet doğrusunun eğimi olmasıdır:
\[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \] (c: sabit sayı)
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \]
\[ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
\[ \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]
\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]
Çözüm:
Sonuç: \( f'(x) = 6x + 2 \)
Türev, matematiksel analizin temel taşlarından biridir ve fizikten ekonomiye, mühendislikten biyolojiye kadar birçok alanda kritik uygulamalara sahiptir. Türev kavramını anlamak, değişimi ölçebilmek ve modellenebilir hale getirebilmek için vazgeçilmez bir araçtır.
Bir sonraki adım olarak, türevin ters işlemi olan integral kavramını inceleyerek analiz bilginizi genişletebilirsiniz. 📊
