Bölümün türevi nedir

Question

Bölümün türevini alırken pay ve paydanın ayrı ayrı türevlerini alıp formülde yerine koyunca sonuç hep yanlış çıkıyor. Paydanın karesini nereye yazmam gerektiğini ve formülü uygulama adımlarını tam olarak karıştırıyorum. Bu kuralın mantığını anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

# 📚 Ders Notu: Bölümün Türevi (Bölüm Kuralı)

🎯 Konu: İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi

Matematiksel analizde, özellikle türev konusunda, iki fonksiyonun bölümünün türevini almak için özel bir kural geliştirilmiştir. Bu kurala "Bölümün Türevi Kuralı" veya "Quotient Rule" denir.

🔢 Bölüm Kuralının Formülü

\( f(x) \) ve \( g(x) \) türevlenebilir iki fonksiyon olsun ve \( g(x) \neq 0 \) olsun. Bu durumda bölüm fonksiyonunun türevi:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

Bu formülü şu şekilde hatırlayabiliriz: "Paydanın türevi çarpı pay, eksi payın türevi çarpı payda, bölü paydanın karesi".

📝 Hatırlatma Yöntemleri

• 🎵 Şarkılı Yöntem: "Aşağı yukarı, yukarı aşağı, bölü aşağının karesi" (f/g için)
• 🧠 Kısaltma: (YT × A - AT × Y) / A² (Y: yukarı/f, A: aşağı/g, T: türev)

📊 Örnek Soru Çözümü

🧮 Örnek 1:

\( h(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm:

• \( f(x) = x^2 + 1 \) → \( f'(x) = 2x \)
• \( g(x) = x - 3 \) → \( g'(x) = 1 \)
• Formülü uygulayalım:

\[ h'(x) = \frac{(2x)(x-3) - (x^2+1)(1)}{(x-3)^2} \]

\[ h'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2} \]

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ❌ Payda fonksiyonu asla sıfır olamaz (\( g(x) \neq 0 \))
• 🔍 Önce sadeleştirme mümkün mü kontrol edin, bazen bölüm kuralına gerek kalmaz
• ✅ Her zaman türevin tanım kümesine dikkat edin

🔄 Özel Durumlar

1. Sabit Pay Durumu

\( h(x) = \frac{c}{g(x)} \) ise (c sabit):

\[ h'(x) = \frac{-c \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

2. Payda Sabit Durumu

\( h(x) = \frac{f(x)}{c} \) ise (c sabit):

\[ h'(x) = \frac{f'(x)}{c} \]

🎓 Alıştırma Soruları

1. \( y = \frac{3x^2}{x+1} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
2. \( f(x) = \frac{\sin x}{x^2} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
3. \( g(x) = \frac{e^x}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Önemli Not: Bölüm kuralı, çarpım kuralının özel bir uygulaması olarak düşünülebilir. Aslında \( \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot [g(x)]^{-1} \) şeklinde yazılıp çarpım kuralı ve zincir kuralı birlikte uygulanarak da aynı sonuç elde edilebilir.