📈 Bir Doğru ile Bir Parabolün Birbirine Göre Durumları
Analitik düzlemde bir doğru ile bir parabolün kesişimini incelemek, denklem sistemlerini çözmekle mümkündür. Bu durumları üç ana başlıkta toplayabiliriz. 🎯
🔍 Kesişim Noktalarını Bulma Yöntemi
Parabolün denklemi genellikle \( y = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Doğrunun denklemi ise \( y = mx + n \) biçiminde verilir. Bu iki denklemi birbirine eşitleyerek ortak çözüm yaparız:
\( ax^2 + bx + c = mx + n \)
Bu denklemi düzenlediğimizde ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:
\( ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0 \)
Bu denklemin diskriminantı (Δ), bize kesişim durumu hakkında bilgi verir.
🧩 1. İki Farklı Kesişim Noktası (Kesen Doğru) ✂️
- 📌 Durum: Diskriminant sıfırdan büyük ise (\( \Delta > 0 \))
- 💡 Anlamı: İkinci dereceden denklemin iki farklı reel kökü vardır.
- ➡️ Sonuç: Doğru, parabolü iki farklı noktada keser. Bu durumda doğruya "kesen doğru" denir.
👆 2. Bir Kesişim Noktası (Teğet Doğru) 🎯
- 📌 Durum: Diskriminant sıfıra eşit ise (\( \Delta = 0 \))
- 💡 Anlamı: İkinci dereceden denklemin çakışık iki reel kökü vardır (çift katlı kök).
- ➡️ Sonuç: Doğru, parabolü bir noktada keser, yani parabole teğettir. Bu noktaya teğet değme noktası denir.
🚫 3. Kesişim Noktası Yok (Ayıran Doğru) ➰
- 📌 Durum: Diskriminant sıfırdan küçük ise (\( \Delta < 0 \))
- 💡 Anlamı: İkinci dereceden denklemin reel kökü yoktur.
- ➡️ Sonuç: Doğru ile parabolün hiçbir ortak noktası yoktur. Doğru, parabolü kesmez. Bu tür doğrulara bazen "ayıran doğru" da denir.
📝 Özet Tablosu
Aşağıdaki tablo, durumları özetlemektedir:
- ✅ \( \Delta > 0 \) → İki noktada kesişir.
- ✅ \( \Delta = 0 \) → Bir noktada teğettir.
- ✅ \( \Delta < 0 \) → Kesişmez.
Bu yöntem, bir doğru ile herhangi bir ikinci dereceden eğrinin (parabol, çember, elips vb.) kesişimini analiz etmek için temel bir araçtır. 🛠️
