📈 Teğet Denklemi Nedir?
Bir eğri üzerindeki belirli bir noktadan geçen ve o noktada eğriye "değen" (kesişmeyen) doğrunun denklemine teğet denklemi denir. Teğet doğrusu, o noktadaki eğrinin anlık değişim hızını (türevini) temsil eder.
🎯 Teğet Denklemi Bulma Adımları
Bir \( y = f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki teğet denklemini bulmak için şu adımları izleriz:
- ✅ 1. Adım: Fonksiyonun türevini al \( f'(x) \).
- ✅ 2. Adım: Türevin \( x = a \) noktasındaki değerini bul \( m = f'(a) \). Bu bize teğetin eğimini verir.
- ✅ 3. Adım: Teğetin geçeceği noktayı bul. Bu, fonksiyonun \( x = a \)'daki değeridir: \( (a, f(a)) \).
- ✅ 4. Adım: Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini yaz: \( y - f(a) = m(x - a) \).
🧮 Örnek 1: Temel Bir Fonksiyon
Problem: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki teğet denklemini bulalım.
- ➡️ Adım 1: \( f'(x) = 2x \)
- ➡️ Adım 2: \( m = f'(2) = 2 \times 2 = 4 \)
- ➡️ Adım 3: Noktayı bulalım: \( f(2) = 2^2 = 4 \) → Nokta: \( (2, 4) \)
- ➡️ Adım 4: Denklemi yazalım: \( y - 4 = 4(x - 2) \) → \( y = 4x - 4 \)
Sonuç olarak, teğet denklemi \( y = 4x - 4 \) olur.
🔢 Örnek 2: Daha Karmaşık Bir Fonksiyon
Problem: \( f(x) = x^3 - 2x + 1 \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki teğet denklemini bulalım.
- ➡️ Adım 1: \( f'(x) = 3x^2 - 2 \)
- ➡️ Adım 2: \( m = f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1 \)
- ➡️ Adım 3: Noktayı bulalım: \( f(1) = (1)^3 - 2(1) + 1 = 0 \) → Nokta: \( (1, 0) \)
- ➡️ Adım 4: Denklemi yazalım: \( y - 0 = 1(x - 1) \) → \( y = x - 1 \)
Sonuç olarak, teğet denklemi \( y = x - 1 \) olur.
💡 Önemli Noktalar
- 📌 Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun ilgili noktadaki türevine eşittir.
- 📌 Teğet denklemini yazmak için nokta-eğim formu \( (y - y_1 = m(x - x_1)) \) kullanılır.
- 📌 Verilen noktanın mutlaka fonksiyon üzerinde olduğundan emin olunmalıdır.
- 📌 Türev alırken kuralları (kuvvet kuralı, çarpım kuralı, bölüm kuralı vb.) doğru uygulamak çok önemlidir.
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- ❌ Türevi yanlış almak en yaygın hatadır.
- ❌ Eğimi \( f(a) \) yerine \( f'(a) \) olarak hesapladığından emin ol.
- ❌ Nokta-eğim formülündeki işaretlere dikkat et: \( y - y_1 \).
