Birim çemberde tanjant ve kotanjant eksenleri

Question

Birim çemberde tanjant ekseninin yatay, kotanjant ekseninin ise dikey olduğunu biliyorum ama bu eksenlerin nereden geçtiğini ve nasıl yorumlandığını tam olarak göremiyorum. Özellikle açılar genişlediğinde bu eksenler üzerindeki değerleri bulmakta zorlanıyorum.

Answer 1

📐 Birim Çemberde Tanjant ve Kotanjant Eksenleri

Trigonometri konusunda birim çember, açıların trigonometrik fonksiyonlarını görselleştirmek için kullanılan temel bir araçtır. Bu yazıda, birim çember üzerinde tanjant ve kotanjant eksenlerinin nasıl tanımlandığını ve bu fonksiyonların geometrik yorumlarını öğreneceğiz.

🎯 Birim Çember ve Temel Trigonometrik Fonksiyonlar

Birim çember, merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Çember üzerindeki bir nokta P(x, y) ile gösterilir ve bir θ açısı için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

• \( x = \cos θ \)
• \( y = \sin θ \)

📈 Tanjant Ekseni (Tangent Axis)

Tanjant fonksiyonu, birim çember üzerinde x = 1 doğrusu (dikey teğet) kullanılarak tanımlanır. Bu doğruya tanjant ekseni denir. Bir θ açısı için:

• Birim çember merkezinden çizilen ve θ açısına sahip olan doğru, x = 1 doğrusunu bir T noktasında keser.
• Bu T noktasının y-koordinatı, tan(θ) değerini verir: \( \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} \).

Eğer \( \cos θ = 0 \) ise (yani θ = 90° veya 270°), tanjant tanımsızdır çünkü payda sıfır olur.

📉 Kotanjant Ekseni (Cotangent Axis)

Kotanjant fonksiyonu ise y = 1 doğrusu (yatay teğet) kullanılarak tanımlanır. Bu doğruya kotanjant ekseni denir. Bir θ açısı için:

• Birim çember merkezinden çizilen ve θ açısına sahip olan doğru, y = 1 doğrusunu bir C noktasında keser.
• Bu C noktasının x-koordinatı, cot(θ) değerini verir: \( \cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ} \).

Eğer \( \sin θ = 0 \) ise (yani θ = 0° veya 180°), kotanjant tanımsızdır çünkü payda sıfır olur.

🔄 Tanjant ve Kotanjant İlişkisi

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirinin çarpmaya göre tersidir:

• \( \tan θ \cdot \cot θ = 1 \)
• \( \cot θ = \frac{1}{\tan θ} \)

Bu nedenle, bir fonksiyonun değeri bilindiğinde diğeri kolayca hesaplanabilir.

🧮 Örnekler

Örnek 1: θ = 45° için:

• \( \tan 45° = 1 \)
• \( \cot 45° = 1 \)

Örnek 2: θ = 30° için:

• \( \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• \( \cot 30° = \sqrt{3} \)

⚠️ Önemli Uyarılar

• Tanjant, kosinüsün sıfır olduğu açılarda (90°, 270°, ...) tanımsızdır.
• Kotanjant, sinüsün sıfır olduğu açılarda (0°, 180°, ...) tanımsızdır.
• Birim çember üzerinde tanjant ve kotanjant değerleri, sırasıyla x=1 ve y=1 doğruları üzerinde ölçülür.

Birim çemberde tanjant ve kotanjant eksenlerini anlamak, trigonometrik fonksiyonların periyodik davranışlarını ve grafiklerini kavramak için oldukça önemlidir. Bu bilgiler, ileri matematik konularında da sıklıkla karşınıza çıkacaktır.