Birim fonksiyon kuralı ve örnekleri

Question

Birim fonksiyonun tanımını anladım ama hangi durumlarda birim fonksiyon olduğunu karıştırıyorum. Örneğin f(x) = x dışında, f(3x) = x gibi ifadelerle karşılaştığımda kafam karışıyor. Bu tarz örneklerde nasıl düşünmem gerektiğini basitçe açıklar mısınız?

Answer 1

Birim Fonksiyon Nedir?

Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı yine kendisine eşleyen özel bir fonksiyondur. Yani, girdi ile çıktı aynıdır.

Birim Fonksiyonun Kuralı

Bir f: A → B fonksiyonu birim fonksiyon ise, tanım kümesindeki her x elemanı için:

f(x) = x

eşitliği sağlanır. Bu, fonksiyonun kendisinden başka bir işlem yapmadığını gösterir.

Birim Fonksiyonun Özellikleri

• Tanım kümesi ile değer kümesi aynı olmalıdır (A = B).
• Grafiği y = x doğrusudur.
• Birebir ve örten fonksiyondur.

Birim Fonksiyon Örnekleri

Örnek 1: f: ℝ → ℝ, f(x) = x fonksiyonu birim fonksiyondur.

• f(2) = 2
• f(-5) = -5
• f(a) = a

Örnek 2: g: {1, 2, 3} → {1, 2, 3} kümesi üzerinde tanımlı g(x) = x fonksiyonu birim fonksiyondur.

• g(1) = 1
• g(2) = 2
• g(3) = 3

Örnek 3: A = {a, b, c} kümesi üzerinde tanımlı I: A → A fonksiyonu için:

• I(a) = a
• I(b) = b
• I(c) = c

Bu fonksiyon birim fonksiyondur.

Birim Fonksiyon Olmayan Örnekler

Örnek 4: f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 fonksiyonu birim fonksiyon değildir.

Çünkü f(2) = 3 ≠ 2 olduğundan f(x) = x kuralını sağlamaz.

Örnek 5: g: ℝ → ℝ, g(x) = 2x fonksiyonu birim fonksiyon değildir.

Çünkü g(3) = 6 ≠ 3 olduğundan f(x) = x kuralını sağlamaz.

Birim Fonksiyonun Gösterimi

Birim fonksiyon genellikle I veya id (identity) sembolü ile gösterilir. Bazen I_A şeklinde de yazılır, bu A kümesi üzerindeki birim fonksiyonu ifade eder.

Answer 2

Birim Fonksiyon Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f: R → R fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, f(2x - 3) = f(x + 1) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: d) 4
Çözüm: Birim fonksiyonda f(a) = a olduğundan, f(2x - 3) = 2x - 3 ve f(x + 1) = x + 1 olur. Eşitlikten: 2x - 3 = x + 1 ⇒ x = 4

Soru 2: f(x) = (a - 2)x² + (b + 3)x + c - 1 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
a) 5   b) 6   c) 7   d) 8   e) 9
Cevap: c) 7
Çözüm: Birim fonksiyon için f(x) = x olmalı. Bu durumda: a - 2 = 0, b + 3 = 1, c - 1 = 0 ⇒ a = 2, b = -2, c = 1. Toplam: 2 + (-2) + 1 = 1

Soru 3: f: R → R birim fonksiyon ve g(x) = 3x - 2 olduğuna göre, (fog)(2) + (gof)(1) işleminin sonucu kaçtır?
a) 5   b) 6   c) 7   d) 8   e) 9
Cevap: b) 6
Çözüm: f birim fonksiyon olduğundan f(x) = x. (fog)(2) = f(g(2)) = f(3·2 - 2) = f(4) = 4. (gof)(1) = g(f(1)) = g(1) = 3·1 - 2 = 1. Toplam: 4 + 1 = 5

Soru 4: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı f: A → A fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, f(1) + f(3) toplamı kaçtır?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: c) 4
Çözüm: Birim fonksiyonda her eleman kendisine eşlenir. Bu nedenle f(1) = 1 ve f(3) = 3 olur. Toplam: 1 + 3 = 4