🎯 Çemberin Genel Denklemi
Bir çember, sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu kapalı bir eğridir. Çemberin denklemini yazmanın birkaç farklı yolu vardır. En temel ve genel formu şudur:
📌 Standart Form
Merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çemberin denklemi:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
➡️ Genel Forma Geçiş
Yukarıdaki standart denklemi açalım:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
\( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 \)
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
\( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 \)
✨ Genel Denklem
Bu denklemde sabitleri değişkenlerle değiştirirsek, çemberin genel denklemini elde ederiz:
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)**
Burada:
- 📏 \( D = -2a \)
- 📐 \( E = -2b \)
- 🔢 \( F = a^2 + b^2 - r^2 \)
🔍 Merkez ve Yarıçapı Bulma
Genel denklemden merkez ve yarıçapı bulmak için katsayıları kullanırız:
- 🎯 Merkez: \( M\left( -\frac{D}{2}, -\frac{E}{2} \right) \)
- 📏 Yarıçap: \( r = \sqrt{ \left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F } \)
⚠️ Önemli Notlar
- ❌ Eğer \( \left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F < 0 \) ise, bu bir gerçek çember belirtmez (sanal çember).
- ⚫ Eğer \( \left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F = 0 \) ise, çember bir noktaya (nokta çember) dönüşür.
- ✅ Denklemde \( x^2 \) ve \( y^2 \) katsayıları eşit ve 1 olmalıdır. Değilse, denklem genel forma getirilmelidir.
💡 Örnek
Soru: \( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \) denklemi ile verilen çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
Çözüm:
- \( D = -6 \), \( E = 4 \), \( F = -12 \)
- 🎯 Merkez: \( M\left( -\frac{-6}{2}, -\frac{4}{2} \right) = M(3, -2) \)
- 📏 Yarıçap: \( r = \sqrt{ (3)^2 + (-2)^2 - (-12) } = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5 \)
