Çemberin standart denklemi ((x-a)² + (y-b)² = r²)

Question

Bu denklemde (a,b) noktasının çemberin merkezi, r'nin ise yarıçap olduğunu biliyorum. Ancak sorularda merkezin koordinatlarını bulmakta zorlanıyorum. Özellikle denklem verildiğinde merkezi nasıl belirleyeceğim konusu kafamı karıştırıyor.

Answer 1

📐 Çemberin Standart Denklemi

Bir çember, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu kapalı bir eğridir. Bu sabit noktaya merkez, sabit uzaklığa ise yarıçap denir.

🧭 Denklemin Bileşenleri

Standart denklem, bir çemberi tanımlamak için kullanılan en temel formüldür:

\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)\)

• 📍 M(a, b): Çemberin merkezinin koordinatlarıdır.
• 📏 r: Çemberin yarıçapıdır (her zaman pozitif bir sayıdır).
• 🔄 (x, y): Çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır.

💡 Denklem Nasıl Ortaya Çıkar?

Bu denklem, aslında iki nokta arasındaki uzaklık formülünden türetilir. Çemberin tanımı gereği, merkez (a, b) ile çember üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası arasındaki mesafe her zaman yarıçap (r) kadardır.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Bu formülü çember için uygularsak:

\( \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r \)

Her iki tarafın karesini alarak kök işaretinden kurtuluruz ve standart denklemi elde ederiz:

\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)\)

🎯 Özel Durumlar

• ✅ Merkez Orijinde (0,0) ise: Denklem çok daha sade bir hal alır: \( x^2 + y^2 = r^2 \)\)
• ✅ Denklem Verilmişse Merkez ve Yarıçap Nasıl Bulunur? Denklemdeki a ve b değerlerinin işaretlerine dikkat edin! Denklem \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \) şeklindedir. Yani, parantez içindeki işaretlerin tersi merkezin koordinatını verir.

📝 Örnekler

Örnek 1: 🧮 Merkez ve Yarıçapı Yazma

\( (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16 \)\) çemberinin merkezini ve yarıçapını bulalım.

• ➡️ x'li ifade: \( (x - 3)^2 \) → Merkezin x koordinatı: a = 3
• ➡️ y'li ifade: \( (y + 1)^2 \), bunu \( (y - (-1))^2 \) şeklinde yazabiliriz → Merkezin y koordinatı: b = -1
• ➡️ Denklemin sağ tarafı: \( 16 \) → \( r^2 = 16 \) → Yarıçap: r = 4

Sonuç: Merkez M(3, -1) ve Yarıçap r = 4'tür.

Örnek 2: ✍️ Denklem Yazma

Merkezi M(-2, 5) ve yarıçapı r = 3 olan çemberin denklemini yazalım.

• ➡️ a = -2, b = 5, r = 3
• ➡️ Standart denklemde yerine koyalım: \( (x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 3^2 \)
• ➡️ Sadeleştirelim: \( (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9 \)\)

📌 Özet

• 🔹 Çemberin standart denklemi: \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)\)
• 🔹 M(a, b) merkez, r yarıçaptır.
• 🔹 Denklemdeki a ve b değerlerini bulurken parantez içindeki işaretlere dikkat edin; işaretlerin tersi merkezi verir.