Dairesel (Dönel) permütasyon nedir

Question

Dairesel permütasyonu düz bir sıralama gibi düşünemiyorum. Mesela 4 kişiyi yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde oturtabiliriz diye sorulduğunda kafam karışıyor. Bir de şu döndürünce aynı sayılan durumlar olayını tam anlayamadım.

Answer 1

# 📌 Dairesel (Dönel) Permütasyon Nedir? – Ders Notu

🎯 Konu Tanımı ve Temel Kavram

Dairesel (dönel) permütasyon, nesnelerin bir çember (halka) üzerinde sıralanma biçimlerinin sayısını bulmamızı sağlayan bir permütasyon türüdür. Normal permütasyondan farkı, dairesel düzenlemelerde başlangıç noktasının sabit olmaması ve dolayısıyla dönüşlerin aynı sıralama sayılmasıdır.

🔄 Neden Dairesel Permütasyon Farklıdır?

Doğrusal (normal) permütasyonda A-B-C dizilimi ile B-C-A farklı kabul edilir. Ancak dairesel düzende, bir halka etrafında döndürüldüğünde bu sıralamalar aynıdır. Bu nedenle sayma işleminde düzeltme yapmamız gerekir.

🔢 Formül ve Matematiksel İfade

n farklı nesnenin bir çember etrafındaki farklı sıralanış sayısı:

\( P_d(n) = (n-1)! \)

Eğer nesnelerin yönü (saat yönü/tersi) farklıysa formül: \( P_d(n) = \frac{(n-1)!}{2} \) olur.

📐 Örneklerle Açıklama

🌀 Örnek 1 (Basit Dairesel Sıralama)

Problem: 5 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm: \( n = 5 \)

\( P_d(5) = (5-1)! = 4! = 24 \) farklı oturma düzeni vardır.

🎭 Örnek 2 (Yön Farkı Dikkate Alınan)

Problem: 4 farklı renkli boncuk bir halkaya dizilecektir. Boncuk halkası çevrildiğinde ve ters çevrildiğinde aynı diziliş sayılıyorsa kaç farklı diziliş vardır?

Çözüm: \( n = 4 \)

\( P_d(4) = \frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) farklı diziliş.

⚠️ Özel Durumlar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 📌 Sabit bir referans noktası varsa (masada başkan koltuğu gibi) normal permütasyon uygulanır: \( n! \)
• 🔄 Nesneler özdeşse tekrarlı permütasyon kuralları devreye girer
• 🔗 Bilezik, kolye gibi çevrilebilen ve ters döndürülebilen nesnelerde formül \( \frac{(n-1)!}{2} \) kullanılır

💡 Pratik Uygulama Alanları

• 👥 Yuvarlak masa oturma düzenleri
• 💍 Kolye, bilezik tasarımları
• 🏆 Turnuvalarda dairesel sıralama sistemleri
• 🔬 Moleküler dizilimlerin incelenmesi (kimyada)

📊 Özet Tablo

Durum	Formül	Örnek (n=4)
Doğrusal permütasyon	\( n! \)	\( 4! = 24 \)
Dairesel permütasyon (yön farklı)	\( (n-1)! \)	\( 3! = 6 \)
Dairesel permütasyon (yön farklı değil)	\( \frac{(n-1)!}{2} \)	\( \frac{3!}{2} = 3 \)

🎓 Sonuç: Dairesel permütasyon, günlük hayatta ve birçok bilim dalında karşılaştığımız dairesel düzenlemeleri saymamızı sağlayan temel bir kombinatorik konusudur. Temel prensibi, dönme simetrisini hesaba katarak gereksiz tekrarları elemektir.