De Morgan kuralları, mantık ve matematikte önermelerin olumsuzlanmasıyla ilgili temel kurallardır. Bu kurallar, mantıkta "ve" (∧) ile "veya" (∨) bağlaçlarının olumsuzlanması durumunda nasıl davrandığını açıklar. İngiliz matematikçi Augustus De Morgan tarafından formüle edilmiştir.
İki önermenin "ve" bağlacıyla birleştirilmesinin olumsuzu, bu önermelerin ayrı ayrı olumsuzlarının "veya" bağlacıyla birleştirilmesine eşittir.
Matematiksel ifade: \( \neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \)
Sözel örnek: "Bugün yağmur yağıyor VE rüzgar esiyor" önermesinin olumsuzu "Bugün yağmur yağmıyor VEYA rüzgar esmiyor" şeklindedir.
İki önermenin "veya" bağlacıyla birleştirilmesinin olumsuzu, bu önermelerin ayrı ayrı olumsuzlarının "ve" bağlacıyla birleştirilmesine eşittir.
Matematiksel ifade: \( \neg (p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q \)
Sözel örnek: "Yarın sinemaya VEYA tiyatroya gideceğim" önermesinin olumsuzu "Yarın sinemaya gitmeyeceğim VE tiyatroya gitmeyeceğim" şeklindedir.
De Morgan kurallarının geçerliliğini doğruluk tablosu ile gösterebiliriz:
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q | p ∨ q | ¬(p ∨ q) | ¬p ∧ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Tablodan görüleceği üzere, \( \neg (p \land q) \) sütunu ile \( \neg p \lor \neg q \) sütunu aynı değerleri almaktadır. Benzer şekilde, \( \neg (p \lor q) \) sütunu ile \( \neg p \land \neg q \) sütunu da aynı değerleri almaktadır.
De Morgan kuralları, mantıksal çıkarımlarda ve matematiksel ispatlarda sıkça kullanılan temel kurallardır. Bu kuralları iyi anlamak, mantık problemlerini çözmede ve karmaşık ifadeleri sadeleştirmede büyük kolaylık sağlar.
