Delta < 0 durumunda sanal kökleri bulma

Question

Delta sıfırdan küçük olduğunda denklemin reel kökü olmuyor ama biz sanal kökleri nasıl bulacağız? Özellikle karmaşık sayılara geçiş yaparken işlemleri nasıl yapmam gerektiğini tam anlayamadım. Köklerin formülde nasıl yerine konulduğunu basitçe gösterebilir misiniz?

Answer 1

# Delta < 0 Durumunda Sanal Kökleri Bulma

🎯 İkinci Dereceden Denklemler ve Diskriminant

İkinci dereceden bir denklem genel olarak \( ax^2 + bx + c = 0 \) formunda ifade edilir. Bu denklemin köklerini bulmak için kullandığımız diskriminant (Δ) formülü:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Diskriminantın değeri bize kökler hakkında önemli bilgiler verir:

• ✅ Δ > 0 ise denklemin iki farklı reel kökü vardır
• ✅ Δ = 0 ise denklemin bir tane reel (çakışık) kökü vardır
• ✅ Δ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur, iki tane sanal kök vardır

🧠 Sanal Sayılar ve i Nedir?

Sanal sayılar, reel sayılar kümesinin genişletilmiş halidir. Sanal birim \( i \) olarak gösterilir ve:

\( i^2 = -1 \)

Bu tanımla birlikte, negatif bir sayının karekökünü alabiliriz. Örneğin:

\( \sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i \)

🔍 Delta < 0 Durumunda Kökleri Bulma Yöntemi

Δ < 0 olduğunda, ikinci dereceden denklemin kökleri:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

formülüyle bulunur. Ancak burada \( \sqrt{\Delta} \) sanal bir sayı olacaktır. İşlem adımları:

1. Diskriminantı hesapla: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
2. Sanal kısmı ayır: \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{-(4ac - b^2)} = i\sqrt{4ac - b^2} \)
3. Kökleri yaz: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a} \)

📝 Örnek Çözüm

Örnek: \( x^2 - 4x + 13 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:

1. \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 13 \)
2. \( \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \)
3. Δ < 0 olduğundan sanal kökler vardır
4. \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1} = 6i \)
5. Kökler: \( x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \)

Bu durumda kökler: \( x_1 = 2 + 3i \) ve \( x_2 = 2 - 3i \)

💡 Önemli Noktalar

• ✨ Sanal kökler her zaman eşlenik çiftler halinde bulunur
• ✨ Köklerin toplamı: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) (reel)
• ✨ Köklerin çarpımı: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) (reel)
• ✨ Sanal kökler, reel eksende grafiği x-eksenini kesmeyen parabolü temsil eder

🎓 Pratik Uygulama

Sanal kökler, mühendislik, fizik ve elektrik devreleri gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Özellikle titreşim analizi, sinyal işleme ve kontrol sistemlerinde bu kavram oldukça önemlidir.

Alıştırma: \( 2x^2 + 6x + 5 = 0 \) denkleminin köklerini bulunuz.