permütasyon örnekleri

Question

Permütasyon konusunu anladım gibi ama örnek soruları çözerken kafam karışıyor. Özellikle sıralama yaparken nelere dikkat etmem gerektiğini ve farklı tipteki permütasyon sorularını nasıl ayırt edeceğimi tam olarak kestiremiyorum. Acaba örnekler üzerinden giderek bu konuyu daha iyi kavrayabilir miyim?

Answer 1

🧮 Permütasyon Nedir?

Permütasyon, bir küme içerisindeki nesnelerin belirli bir sıraya göre düzenlenmesidir. Yani, elinizde bir grup eleman var ve bu elemanları farklı şekillerde sıralamak istiyorsunuz. İşte bu farklı sıralamaların her birine permütasyon denir. Permütasyon, sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır. Örneğin, bir yarışmada ilk üç sırayı belirlemek veya bir şifre oluşturmak gibi.

🔢 Permütasyonun Temel Formülü

n tane farklı nesnenin r'li permütasyonu aşağıdaki formülle hesaplanır:

P(n, r) = n! / (n - r)!

Burada:

• ⭐ n, toplam nesne sayısını,
• 🔑 r, seçilen ve sıralanan nesne sayısını,
• ❗ !, faktöriyel anlamına gelir (örneğin, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1).

Örneğin, 5 farklı kitaptan 3 tanesini bir rafa kaç farklı şekilde dizebileceğinizi bulmak için P(5, 3) permütasyonunu hesaplarız.

📚 Permütasyon Örnekleri

🏆 Örnek 1: Yarışma Sıralaması

Bir koşu yarışmasına 8 kişi katılıyor. İlk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?

Çözüm:

Bu soruda, 8 kişiden 3'ünü seçip sıralıyoruz. Yani, n = 8 ve r = 3. Formülü uygulayalım:

P(8, 3) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 8 x 7 x 6 = 336

Yani, ilk üç derece 336 farklı şekilde oluşabilir.

🔐 Örnek 2: Şifre Oluşturma

5 farklı rakam kullanarak (0-9 arası) tekrarsız 3 haneli kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Çözüm:

Bu soruda, 10 rakamdan 3'ünü seçip sıralıyoruz. Yani, n = 10 ve r = 3. Formülü uygulayalım:

P(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10! / 7! = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 10 x 9 x 8 = 720

Yani, 720 farklı şifre oluşturulabilir.

🧮 Örnek 3: Kitap Dizme

Bir rafta 4 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı var. Aynı branştaki kitaplar yan yana olmak şartıyla bu kitaplar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

1. 📚 Matematik kitapları kendi arasında 4! şekilde sıralanır.
2. 🧪 Fizik kitapları kendi arasında 3! şekilde sıralanır.
3. 🧱 Matematik ve fizik kitapları blokları kendi aralarında 2! şekilde sıralanır.

Toplam sıralama sayısı: 4! x 3! x 2! = (4 x 3 x 2 x 1) x (3 x 2 x 1) x (2 x 1) = 24 x 6 x 2 = 288

Yani, kitaplar 288 farklı şekilde dizilebilir.

🔑 Örnek 4: Harf Sıralaması

"KALEM" kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime oluşturulabilir?

Çözüm:

Bu kelimede 5 farklı harf var. Bu 5 harfi farklı şekillerde sıralayarak kaç farklı kelime oluşturabileceğimizi bulmak istiyoruz. Bu, 5! permütasyonuna eşittir.

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Yani, "KALEM" kelimesinin harfleriyle 120 farklı kelime oluşturulabilir.

💡 Permütasyonun Önemi

Permütasyon, olasılık hesaplamaları, şifreleme, kombinatoryal optimizasyon gibi birçok alanda temel bir kavramdır. Günlük hayatta karşılaştığımız birçok problemde permütasyonları kullanarak çözümler üretebiliriz. Örneğin, bir menüdeki yemeklerin farklı sıralamalarını hesaplamak, bir oyun kartlarının dağıtımını analiz etmek veya bir algoritmanın farklı çalışma sıralamalarını değerlendirmek gibi.