Analitik geometride, iki doğrunun birbirine dik olması ile eğimleri arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişki, doğruların dikliğini cebirsel olarak ifade etmemizi sağlar ve geometri problemlerini çözerken bize güçlü bir araç sunar.
Bir doğrunun eğimi, doğrunun x-ekseni ile yaptığı açının tanjant değeridir ve genellikle m harfi ile gösterilir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
formülü ile hesaplanır. Yatay doğruların eğimi 0, düşey doğruların eğimi ise tanımsızdır.
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'e eşittir. Yani:
\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \]
Bu durumda, doğrulardan birinin eğimi diğerinin negatif tersi (reciprocal) olur:
\[ m_2 = -\frac{1}{m_1} \]
Doğrular dik kesiştiğinde, eğim açıları arasında 90° fark oluşur. Trigonometriden bildiğimiz gibi:
\[ \tan(\theta + 90°) = -\cot(\theta) = -\frac{1}{\tan(\theta)} \]
Bu nedenle, eğimler çarpımı -1 olur.
Soru: Eğimi 2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi nedir?
Çözüm:
\[ m_1 = 2 \]
\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \implies 2 \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -\frac{1}{2} \]
Soru: \( y = 3x + 1 \) doğrusuna dik olan ve (2, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımının -1 olması, analitik geometrinin en temel kurallarından biridir. Bu kuralı iyi öğrenmek:
Son not: Bu kural, koordinat sistemindeki tüm dik doğru çiftleri için geçerlidir (istisnalar hariç). Formülü ezberlemek yerine mantığını anlamak, konuyu kalıcı öğrenmenizi sağlayacaktır.
