📈 Diziler: AYT Matematik Konu Anlatımı
Diziler, matematikte önemli bir konu olup Analitik Geometri ve Limit gibi ileri konularla da iç içedir. AYT sınavında sıkça karşımıza çıkarlar.
🎯 Dizi Nedir?
Bir dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Her \( n \) pozitif tam sayısına bir \( a_n \) gerçel sayısı karşılık getirilir.
- ✅ Terim: Dizinin elemanlarına terim denir (\( a_1, a_2, a_3, ... \)).
- ✅ Genel Terim: \( n \). terimi veren ifadeye genel terim denir (\( a_n \)).
🔢 Dizi Çeşitleri
📊 1. Sonlu Dizi
Terim sayısı sonlu olan dizilerdir. Örneğin: \( (a_1, a_2, a_3, ..., a_k) \)
∞ 2. Sonsuz Dizi
Terim sayısı sonsuz olan dizilerdir. Örneğin: \( (a_1, a_2, a_3, ...) \)
📐 3. Sabit Dizi
Tüm terimleri birbirine eşit olan dizidir. \( a_n = c \) (c sabit)
⚖️ 4. Eşit Diziler
Aynı indisli terimleri eşit olan dizilerdir. Her \( n \) için \( a_n = b_n \) ise \( (a_n) = (b_n) \).
🧮 Aritmetik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit farka ortak fark denir ve \( d \) ile gösterilir.
- 💡 Genel Terim: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \)
- 💡 n. terim: \( a_n = a_k + (n-k) \cdot d \)
- 💡 İlk n terim toplamı: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)
📝 Aritmetik Dizi Örneği:
İlk terimi 5, ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin:
- ➡️ Genel terimi: \( a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2 \)
- ➡️ 10. terimi: \( a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 32 \)
- ➡️ İlk 10 terim toplamı: \( S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (5 + 32) = 5 \cdot 37 = 185 \)
📈 Geometrik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve \( r \) ile gösterilir.
- 💡 Genel Terim: \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
- 💡 n. terim: \( a_n = a_k \cdot r^{n-k} \)
- 💡 İlk n terim toplamı: \( S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r} \) (r ≠ 1)
- 💡 Sonsuz terim toplamı: \( S_∞ = \frac{a_1}{1-r} \) (|r| < 1)
📝 Geometrik Dizi Örneği:
İlk terimi 2, ortak çarpanı 3 olan geometrik dizinin:
- ➡️ Genel terimi: \( a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \)
- ➡️ 5. terimi: \( a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 \)
- ➡️ İlk 5 terim toplamı: \( S_5 = 2 \cdot \frac{1-3^5}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-243}{-2} = 242 \)
🎲 Özel Diziler
🔺 Fibonacci Dizisi
Her terim kendisinden önceki iki terimin toplamına eşittir: \( a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \)
📏 Harmonik Dizi
Terimlerinin tersi aritmetik dizi oluşturur: \( \frac{1}{a_n} \) bir aritmetik dizi ise \( (a_n) \) harmonik dizidir.
💪 Önemli Noktalar
- 📌 Bir dizinin artan/azalan olup olmadığını anlamak için \( a_{n+1} - a_n \) veya \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) ifadelerine bakılır.
- 📌 Dizilerde limit konusu, dizinin sonsuzdaki davranışını anlamamızı sağlar.
- 📌 AYT'de diziler genellikle problem çözme ve modelleme sorularında karşımıza çıkar.
🎯 Çözüm Stratejileri
- ✅ Soruda verilen bilgileri dikkatle okuyun ve dizi türünü belirleyin.
- ✅ Genel terim formüllerini doğru uygulayın.
- ✅ Toplam formüllerini kullanırken terim sayısına dikkat edin.
- ✅ Geometrik dizilerde sonsuz toplam için |r| < 1 koşulunu kontrol edin.
