Doğrusal Fonksiyonlarla İlgili Çözümlü Sorular ve Pratik Yöntemler

Question

Bu konuyu anlamakta zorlanıyorum çünkü denklemleri grafiğe nasıl dökebileceğimi tam olarak kavrayamıyorum. Özellikle eğim ve başlangıç noktasını bulmakta zorlanıyorum. Farklı tarzlarda çözümlü örnekleri görünce konunun daha iyi oturacağını düşünüyorum.

Answer 1

Doğrusal Fonksiyonlar: Çözümlü Örnekler ve Pratik Yöntemler

Doğrusal fonksiyonlar, matematikte en temel fonksiyon türlerinden biridir. Genel formu \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Burada:

• a: Eğim (slope), fonksiyonun artış veya azalış hızını belirler.
• b: Y-keseni (y-intercept), fonksiyonun y-eksenini kestiği noktadır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizin ve x=1 için değerini bulun.

• Çözüm: Eğim (a) = 2, y-keseni (b) = 3'tür. Grafik, (0,3) noktasından başlar ve her 1 birim x artışında y, 2 birim artar.
• x=1 için: \( f(1) = 2(1) + 3 = 5 \).

Örnek 2: \( f(x) = -x + 4 \) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktayı bulun.

• Çözüm: x-ekseni kesimi için \( f(x) = 0 \) olmalıdır: \( 0 = -x + 4 \).
• Denklem çözülürse: \( x = 4 \). Kesişim noktası (4,0).

Pratik Yöntemler

• Grafik çizimi: Y-kesenini işaretleyin, eğimi kullanarak ikinci bir nokta belirleyin ve bu iki noktayı birleştirin.
• Denklem yazma: İki nokta verildiğinde eğim formülü \( a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) ile eğimi bulun, ardından bir noktayı kullanarak b'yi hesaplayın.
• Paralel ve dik doğrular: Paralel doğruların eğimleri eşittir. Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.

Örnek 3 (Pratik): (1,2) ve (3,8) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın.

• Adım 1: Eğim \( a = \frac{8-2}{3-1} = 3 \).
• Adım 2: Denklem \( y = 3x + b \). (1,2) noktasını yerine koyun: \( 2 = 3(1) + b \).
• Adım 3: \( b = -1 \). Sonuç: \( y = 3x - 1 \).

Answer 2

Doğrusal Fonksiyonlar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir doğrusal fonksiyonun denklemi \( f(x) = 2x - 3 \) şeklinde verilmiştir. Bu fonksiyonun grafiği üzerinde \( x = 4 \) noktasındaki y değeri kaçtır?
a) 5
b) 3
c) 1
d) -1
e) -5
Cevap: a) 5
Çözüm: \( f(4) = 2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \) olarak hesaplanır.

Soru 2: \( f(x) = ax + b \) doğrusal fonksiyonu için \( f(1) = 7 \) ve \( f(-1) = 3 \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Cevap: b) 5
Çözüm: Denklem sistemi kurulur: \( a + b = 7 \) ve \( -a + b = 3 \). İki denklem toplanırsa \( 2b = 10 \) ⇒ \( b = 5 \). Yerine yazılırsa \( a = 2 \) bulunur. \( a + b = 7 \) değil, \( 2 + 5 = 7 \) olur. Ancak soruda verilen seçenekler arasında 7 (d şıkkı) doğru gibi görünse de, soru metni \( a + b \)'yi sormaktadır ve bu 7'dir. Ancak seçeneklerde 7 (d) olduğu için cevap d) 7 olmalıdır. Düzeltme: Soru metni veya seçeneklerde tutarsızlık var. Doğru cevap d) 7 olarak güncellenmelidir.

Soru 3: \( y = -3x + 6 \) doğrusunun \( x \)-eksenini kestiği noktanın koordinatları nedir?
a) (0, 6)
b) (2, 0)
c) (-2, 0)
d) (6, 0)
e) (0, -3)
Cevap: b) (2, 0)
Çözüm: \( x \)-kesim noktası için \( y = 0 \) yazılır: \( 0 = -3x + 6 \) ⇒ \( x = 2 \). Koordinatlar (2, 0) olur.

Answer 3

Doğrusal Fonksiyonlar Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Doğrusal fonksiyonların genel formu \( f(x) = \) ______ \( x + \) ______ şeklindedir.

2. \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun eğimi ______, y-eksenini kestiği nokta ______'dir.

Eşleştirme

• A) \( f(x) = 2x + 1 \)
• B) \( f(x) = -x + 4 \)
• C) \( f(x) = 0.5x - 3 \)

1. Eğimi 2 olan fonksiyon

2. Y-eksenini (0,4) noktasında kesen fonksiyon

3. Eğimi negatif olan fonksiyon

Doğru/Yanlış

1. \( f(x) = 4 \) sabit fonksiyonunun eğimi 4'tür. (D/Y)

2. \( f(x) = -2x + 7 \) fonksiyonu artan bir fonksiyondur. (D/Y)

3. İki doğrusal fonksiyonun grafikleri paralel olabilir. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( f(x) = -3x + 6 \) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktayı bulunuz.

2. Eğimi 5 olan ve (2,11) noktasından geçen doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız.

Kısa Test

1. Hangi fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur?

a) \( f(x) = x \)   b) \( f(x) = 0 \)   c) \( f(x) = 1 \)   d) \( f(x) = -x \)

2. \( f(3) = 10 \) ve \( f(5) = 16 \) olan doğrusal fonksiyonun eğimi kaçtır?

a) 2   b) 3   c) 4   d) 5

Cevaplar:

1: 1. ax + b, 2. 3, (0,-5)

2: 1-A, 2-B, 3-B

3: 1-Y, 2-Y, 3-D

4: 1. (2,0), 2. f(x)=5x+1

5: 1-c, 2-b