Eğik atış maksimum yükseklik formülü

Question

Eğik atışta maksimum yükseklik formülünü anlamakta zorlanıyorum. Başlangıç hızının karesi ile sinüs karenin çarpımının neden 2g'ye bölündüğünü mantığıyla kavrayamadım. Formülün fiziksel anlamını basitçe açıklayabilecek var mı?

Answer 1

📐 Eğik Atış Hareketi: Maksimum Yükseklik Formülü

Merhaba! Bugünkü dersimizde, kinematiğin en keyifli konularından biri olan eğik atış hareketini inceleyeceğiz. Özellikle, bir cismin ulaşabileceği maksimum yükseklik (h_max) nasıl hesaplanır, formülü nereden gelir, birlikte türeteceğiz. Hazırsanız başlayalım! 🚀

🎯 Eğik Atış Hareketi Nedir?

Bir cisim, yer çekimi ivmesi (g) altında, yatayla belli bir θ (teta) açısı yapacak şekilde ilk hız (v₀) ile atılırsa, bu harekete eğik atış hareketi denir. Hareket, yatayda sabit hızlı, düşeyde sabit ivmeli (yer çekimi ivmesi) bir hareketin bileşkesidir.

📈 Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Koşulu

Cisim, yörüngesinin tepe noktasına (zirve) ulaştığı anda, düşey hız bileşeni sıfır olur (v_y = 0). Bu kritik bilgi, formülü türetmemizin anahtarıdır.

🧮 Maksimum Yükseklik (h_max) Formülünün Türetilmesi

Adım adım ilerleyelim:

🔹 1. Adım: Hız Bileşenlerini Yazalım

İlk hızın düşey bileşeni: \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \)

Yatay bileşen bizi şimdilik ilgilendirmiyor.

🔹 2. Adım: Düşey Doğrultudaki Hareket Denklemlerini Kullanalım

Sabit ivmeli hareket denklemlerinden, düşey hız için şunu biliyoruz:

\( v_y = v_{0y} - g \cdot t \)

Tepe noktasında \( v_y = 0 \)** olduğu için, bu noktaya ulaşma süresi (\( t_{çıkış} \)):

\( 0 = v_0 \sin(\theta) - g \cdot t_{çıkış} \)

\( t_{çıkış} = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \)

🔹 3. Adım: Yükseklik Formülüne Yerleştirelim

Yine sabit ivmeli hareket denklemlerinden konum-zaman formülü:

\( y = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)

Burada \( y \) cismin herhangi bir t anındaki yüksekliğidir. Maksimum yükseklik için \( t = t_{çıkış} \) yazalım:

\( h_{max} = (v_0 \sin(\theta)) \cdot \left( \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \right)^2 \)

🔹 4. Adım: Sadeleştirme ve Final Formül

İşlemleri yapıp sadeleştirirsek:

\( h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{g} \)

\( h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \)

İşte bu kadar! 🎉 Eğik atışta maksimum yükseklik formülümüz budur.

📊 Formülü Yorumlayalım

• ✅ İlk Hız (\( v_0 \)): Maksimum yükseklik, ilk hızın karesi ile orantılıdır. Hız iki katına çıkarsa, yükseklik dört katına çıkar.
• ✅ Açı (\( \theta \)): Yükseklik, atış açısının sinüsünün karesi ile orantılıdır. \( \sin(90°) = 1 \) olduğundan, 45° değil, 90° (dik atış) maksimum yüksekliği verir. Ancak eğik atış menzili 45°'de maksimum olur.
• ✅ Yer Çekimi İvmesi (\( g \)): Ters orantılıdır. \( g \) büyüdükçe (örneğin başka bir gezegende) aynı şartlarda ulaşılabilecek yükseklik azalır.

📝 Örnek Soru Çözümü

Soru: Yatayla 37° açı yapacak şekilde 50 m/s hızla atılan bir topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği bulunuz. (\( g = 10 m/s^2 \), \( \sin37° ≈ 0,6 \))

Çözüm:

Formül: \( h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \)

\( h_{max} = \frac{(50)^2 \cdot (0.6)^2}{2 \cdot 10} = \frac{2500 \cdot 0.36}{20} = \frac{900}{20} = 45 \) metre.

Cevap: Top atıldıktan sonra 45 metre yüksekliğe ulaşır.

💎 Sonuç

Eğik atış hareketinde maksimum yükseklik formülü, \( h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \), temel kinematik denklemlerin doğrudan bir uygulamasıdır. Formülü ezberlemekten ziyade, düşey hızın tepe noktasında sıfır olduğu prensibini ve hareket denklemlerini nasıl kullandığımızı anlamak çok daha önemlidir. Bir sonraki derste menzil formülü ve uçuş süresini inceleyeceğiz. Görüşmek üzere! 👨‍🏫