Bir eşitsizliği çözdüğümüzde, genellikle denklemi sağlayan tüm gerçek sayı değerlerini buluruz. Bu değerlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Çözüm kümelerini göstermenin en pratik yollarından biri de aralık gösterimidir.
Aralık gösterimi, bir sayı doğrusu üzerindeki bir dizi ardışık sayıyı ifade etmenin kısa ve öz bir yoludur. Aralığın sınırlarını belirtmek için parantez "()" ve köşeli parantez "[]" sembolleri kullanılır.
Ayrıca, sonsuzluğu ifade ederken her zaman yuvarlak parantez kullanılır, çünkü sonsuz bir sayı değil bir kavramdır ve ona "ulaşılamaz".
Bir eşitsizliği aralık gösterimine çevirmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
Örnek 1: \( x > 3 \) eşitsizliğini ele alalım.
Örnek 2: \( x \leq -1 \) eşitsizliğini ele alalım.
Örnek 3: \( -2 < x < 5 \) eşitsizliğini ele alalım.
Örnek 4: \( 1 \leq x \leq 4 \) eşitsizliğini ele alalım.
Aşağıdaki tablo, eşitsizlikler ile aralık gösterimleri arasındaki ilişkiyi özetlemektedir.
| Eşitsizlik | Açıklama | Aralık Gösterimi |
|---|---|---|
| \( a < x < b \) | a ve b dahil değil | \( (a, b) \) |
| \( a \leq x \leq b \) | a ve b dahil | \( [a, b] \) |
| \( a \leq x < b \) | a dahil, b dahil değil | \( [a, b) \) |
| \( a < x \leq b \) | a dahil değil, b dahil | \( (a, b] \) |
| \( x > a \) | a'dan büyük tüm sayılar | \( (a, +\infty) \) |
| \( x \geq a \) | a ve a'dan büyük tüm sayılar | \( [a, +\infty) \) |
| \( x < b \) | b'den küçük tüm sayılar | \( (-\infty, b) \) |
| \( x \leq b \) | b ve b'den küçük tüm sayılar | \( (-\infty, b] \) |
Bu gösterimi kullanarak, eşitsizliklerin çözüm kümelerini hem sayı doğrusunda hem de yazılı olarak net bir şekilde ifade edebiliriz.
Soru 1: \( 2x - 5 < 7 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini aralık gösterimi ile ifade ediniz.
a) \( (-\infty, 6) \) b) \( (-\infty, 6] \) c) \( (6, \infty) \) d) \( [6, \infty) \) e) \( (-\infty, 2) \)
Cevap: a) \( (-\infty, 6) \)
Çözüm: \( 2x - 5 < 7 \) → \( 2x < 12 \) → \( x < 6 \). Bu durumda çözüm kümesi 6'dan küçük tüm reel sayılardır ve aralık gösterimi \( (-\infty, 6) \) şeklindedir.
Soru 2: \( -3(x + 2) \geq 9 \) eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( [-5, \infty) \) b) \( (-\infty, -5] \) c) \( [-1, \infty) \) d) \( (-\infty, -1] \) e) \( (-\infty, 5] \)
Cevap: b) \( (-\infty, -5] \)
Çözüm: \( -3(x + 2) \geq 9 \) → \( x + 2 \leq -3 \) (Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir) → \( x \leq -5 \). Çözüm kümesi \( (-\infty, -5] \) şeklinde gösterilir.
Soru 3: \( 4 \leq 2x - 2 < 10 \) bileşik eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisine eşittir?
a) \( [2, 5) \) b) \( [3, 6) \) c) \( (3, 6] \) d) \( [2, 6) \) e) \( [3, 5) \)
Cevap: b) \( [3, 6) \)
Çözüm: Bileşik eşitsizliği iki ayrı eşitsizlik olarak yazalım: \( 4 \leq 2x - 2 \) ve \( 2x - 2 < 10 \). Birinci eşitsizlik: \( 4 \leq 2x - 2 \) → \( 6 \leq 2x \) → \( 3 \leq x \). İkinci eşitsizlik: \( 2x - 2 < 10 \) → \( 2x < 12 \) → \( x < 6 \). İki eşitsizlik birleştirilirse \( 3 \leq x < 6 \) elde edilir. Bu da \( [3, 6) \) aralığına denktir.
Soru 4: \( x^2 - 4x - 5 > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-1, 5) \) b) \( (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \) c) \( [-1, 5] \) d) \( (-\infty, -1] \cup [5, \infty) \) e) \( (-5, 1) \)
Cevap: b) \( (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \)
Çözüm: \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) denkleminin kökleri \( x = -1 \) ve \( x = 5 \)'tir. Parabol kolları yukarı doğru olduğundan, eşitsizlik işareti ">" olduğu için köklerin dış bölgesi çözüm kümesidir. Bu da \( (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \) aralığıdır.
