Eşkenar üçgende yükseklik formülü

Question

Eşkenar üçgende bir kenara ait yüksekliği hesaplamak için formülü tam olarak hatırlayamıyorum. Kenarı a olan bir üçgende, yüksekliğin a'nın yarısıyla mı yoksa kök 3'le mi çarpıldığını karıştırıyorum. Bu formülün nasıl elde edildiğini anlamak istiyorum.

Answer 1

Eşkenar Üçgen Nedir?

Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve tüm iç açıları 60°'dir.

Yükseklik Formülü

Bir eşkenar üçgende, bir kenara ait yükseklik aynı zamanda o kenarın orta noktasına iner ve üçgeni iki adet 30-60-90 dik üçgenine böler.

Kenar uzunluğu \( a \) olan bir eşkenar üçgende, yükseklik (\( h \)) formülü şudur:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Formülün İspatı

Formül, Pisagor teoremi kullanılarak kolayca türetilebilir:

• Yükseklik, üçgeni tabanı iki eşit parçaya ayırır. Bu durumda, tabanın yarısı \( \frac{a}{2} \) olur.
• Yükseklik (\( h \)), hipotenüsü \( a \) ve diğer dik kenarı \( \frac{a}{2} \) olan bir dik üçgenin diğer kenarıdır.

Pisagor teoremine göre:

\[ a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

\[ a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4} \]

\[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{3a^2}{4} \]

\[ h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \]

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Örnek Problem

Soru: Bir kenar uzunluğu 10 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?

Çözüm:

Formülümüz: \( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \)

\( a = 10 \) cm yerine koyarsak:

\[ h = \frac{10 \times \sqrt{3}}{2} \]

\[ h = 5\sqrt{3} \text{ cm} \]

Yaklaşık değer olarak: \( h \approx 5 \times 1.732 = 8.66 \) cm

Önemli Not: Eşkenar üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik çakışıktır ve hepsi aynı uzunluğa sahiptir (\( \frac{a \sqrt{3}}{2} \)).