Bir eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve tüm iç açıları 60° olan özel bir üçgendir. Eşkenar üçgende yükseklik, bir köşeden karşı kenara (tabana) indirilen ve bu kenarı dik olarak iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.
Bir kenar uzunluğu \( a \) olan bir eşkenar üçgende, yükseklik (\( h \)) aşağıdaki formülle hesaplanır:
\( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \)
Yükseklik çizildiğinde, üçgen iki eş dik üçgene bölünür. Pisagor teoremini bu dik üçgenlerden birine uygularsak:
Pisagor Teoremi: \( a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)
\( a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4} \)
\( h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \)
\( h^2 = \frac{3a^2}{4} \)
\( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \)
Bir kenarı 10 cm olan bir eşkenar üçgenin yüksekliğini bulalım:
\( h = \frac{10 \times \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) cm
Yaklaşık olarak: \( h \approx 5 \times 1.732 = 8.66 \) cm
Soru 1: Bir kenar uzunluğu 10 cm olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?
a) 5√2
b) 5√3
c) 10√2
d) 10√3
Cevap: b) 5√3
Çözüm: Eşkenar üçgende yükseklik formülü \( h = \frac{a√3}{2} \)'dir. \( a = 10 \) cm için \( h = \frac{10√3}{2} = 5√3 \) cm bulunur.
Soru 2: Yüksekliği 6√3 cm olan bir eşkenar üçgenin çevresi kaç cm'dir?
a) 24
b) 30
c) 36
d) 42
Cevap: c) 36
Çözüm: Yükseklik formülü \( h = \frac{a√3}{2} \)'den \( 6√3 = \frac{a√3}{2} \) eşitliği kurulur. Her iki taraf \( √3 \) ile bölünürse \( 6 = \frac{a}{2} \) olur, buradan \( a = 12 \) cm bulunur. Çevre = \( 3a = 3 \times 12 = 36 \) cm'dir.
Soru 3: Bir eşkenar üçgenin yüksekliği, bir kenarının uzunluğunun \( \frac{√3}{2} \) katıdır. Buna göre, bir kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin alanını hesaplayınız.
a) 16√3
b) 24√3
c) 32√3
d) 48√3
Cevap: a) 16√3
Çözüm: Eşkenar üçgenin alan formülü \( \frac{a^2√3}{4} \)'tür. \( a = 8 \) cm için Alan = \( \frac{8^2√3}{4} = \frac{64√3}{4} = 16√3 \) cm² bulunur.
Soru 4: Bir eşkenar üçgenin yüksekliği 9 cm ise, bu üçgenin içine çizilebilecek en büyük karenin bir kenar uzunluğu yaklaşık kaç cm'dir? (√3 ≈ 1,73 alınız)
a) 4,15
b) 5,20
c) 6,25
d) 7,30
Cevap: b) 5,20
Çözüm: Önce eşkenar üçgenin kenarını bulalım: \( h = \frac{a√3}{2} \) → \( 9 = \frac{a√3}{2} \) → \( a = \frac{18}{√3} = 6√3 ≈ 10,38 \) cm. Eşkenar üçgenin içindeki maksimum karenin kenar uzunluğu formülü \( \frac{a√3}{2+√3} \)'tür. \( \frac{10,38 \times 1,73}{3,73} ≈ \frac{17,96}{3,73} ≈ 4,81 \) cm çıkar. Ancak bu formül yükseklikten gitmez. Doğrusu: Karenin bir kenarı \( x \) ise, üçgenin yüksekliği \( x + \frac{x}{√3} = 9 \) → \( x(1 + \frac{1}{√3}) = 9 \) → \( x(1 + 0,577) ≈ 9 \) → \( 1,577x ≈ 9 \) → \( x ≈ 5,71 \) değil, daha doğru hesapla: \( x = \frac{9√3}{√3 + 2} \) formülü kullanılır. \( x = \frac{9 \times 1,73}{3,73} ≈ \frac{15,57}{3,73} ≈ 4,17 \) cm. Seçeneklerde 4,15 var, bu da yakın. Testte en yakın 4,15 (a şıkkı) olmalı, ancak benim hesaplamada 4,17 çıktı, belki yuvarlama farkı. Soru kökünde yaklaşık denmiş. Doğru cevap a) 4,15 olacak.
