Eşlenik nedir (Köklü sayılar)

Question

Köklü ifadelerde eşleniği tam olarak ne zaman ve nasıl kullanacağımı karıştırıyorum. Paydayı rasyonel yapmak için kullanıldığını biliyorum ama işlemi yaparken nedenini tam anlayamadım. Özellikle iki terimli olduğunda hangi işareti değiştireceğim konusu kafamı karıştırıyor.

Answer 1

🧮 Eşlenik Nedir (Köklü Sayılar) - Ders Notu

Eşlenik kavramı, köklü ifadelerle işlem yaparken karşımıza sıkça çıkan ve işlemleri kolaylaştıran önemli bir araçtır. Özellikle paydada köklü ifade bulunduran kesirleri rasyonel hale getirmek için eşleniklerden yararlanırız.

➕ Eşlenik İfade Tanımı

Eşlenik, iki terimli bir ifadenin ortasındaki işaretin değiştirilmesiyle elde edilen yeni ifadedir. Köklü sayılarda eşlenik, genellikle paydaları rasyonel yapmak için kullanılır. Temel mantık, iki kare farkı özdeşliğinden faydalanmaktır.

Örneğin:

• ➕ İfade: (a + b) ise, Eşleniği: (a - b)'dir.
• ➖ İfade: (a - b) ise, Eşleniği: (a + b)'dir.

➗ Köklü İfadelerde Eşlenik

Köklü ifadelerde eşlenik bulurken de aynı mantığı kullanırız. Eğer ifademiz tek terimliyse, o terimin kendisi eşleniğidir. Ancak ifademiz iki terimliyse, aradaki işareti değiştirerek eşleniği buluruz.

Örneğin:

• ✔️ İfade: (√a + √b) ise, Eşleniği: (√a - √b)'dir.
• ✔️ İfade: (√a - √b) ise, Eşleniği: (√a + √b)'dir.
• ✔️ İfade: (√a + b) ise, Eşleniği: (√a - b)'dir.
• ✔️ İfade: (√a - b) ise, Eşleniği: (√a + b)'dir.

💡 Eşlenik ile Çarpmanın Önemi

Bir ifadeyi eşleniği ile çarptığımızda, köklü ifadelerden kurtuluruz ve rasyonel bir ifade elde ederiz. Bu durum, özellikle paydada köklü ifade olduğunda işimize yarar.

Örneğin:

(√a + √b) * (√a - √b) = (√a)² - (√b)² = a - b

✍️ Çözümlü Örnekler

📌 Örnek 1:

Kesrini rasyonel hale getiriniz: 3 / (√5 - √2)

Çözüm:

Paydadaki ifadenin eşleniği (√5 + √2)'dir. Bu nedenle kesrin payını ve paydasını (√5 + √2) ile çarparız.

[3 * (√5 + √2)] / [(√5 - √2) * (√5 + √2)] = [3√5 + 3√2] / (5 - 2) = (3√5 + 3√2) / 3 = √5 + √2

📌 Örnek 2:

Kesrini rasyonel hale getiriniz: 4 / (√7 + 1)

Çözüm:

Paydadaki ifadenin eşleniği (√7 - 1)'dir. Bu nedenle kesrin payını ve paydasını (√7 - 1) ile çarparız.

[4 * (√7 - 1)] / [(√7 + 1) * (√7 - 1)] = [4√7 - 4] / (7 - 1) = (4√7 - 4) / 6 = (2√7 - 2) / 3

📝 Önemli Notlar

• 📌 Eşlenik kavramı, sadece köklü sayılarda değil, karmaşık sayılarda da kullanılır.
• 📌 Paydayı rasyonel yapma işlemine "paydayı eşlenikle genişletme" denir.
• 📌 Eşlenik kullanırken dikkatli olunmalı ve hem payı hem de paydayı aynı ifadeyle çarpmayı unutmamalıyız.