Matematikte fonksiyon, iki küme arasında tanımlanan özel bir ilişkidir. Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için kesin ve evrensel bazı şartları sağlaması gerekir. Bu notlarda, bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını nasıl anlayacağımızı adım adım öğreneceğiz.
\( A \) ve \( B \) boş olmayan iki küme olsun. \( f: A \to B \) bağıntısının bir fonksiyon olması için iki temel şart vardır:
Tanım kümesindeki (A kümesi) her elemanın mutlaka bir görüntüsü olmalıdır. Yani:
\[ \forall x \in A \quad \Rightarrow \quad \exists y \in B \text{ öyle ki } (x, y) \in f \]
Bu, "A'nın her elemanı B'de en az bir elemanla eşleşmeli" anlamına gelir.
Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinde (B kümesi) yalnızca bir elemanla eşleşmelidir. Bir eleman iki farklı görüntüye sahip olamaz:
\[ \text{Eğer } (x, y_1) \in f \text{ ve } (x, y_2) \in f \text{ ise } \quad y_1 = y_2 \]
Örnek: \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{a, b, c\} \)
\( f = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \) bir fonksiyondur. Çünkü:
\( g = \{(1, a), (2, b)\} \) (3'ün görüntüsü yok!)
❌ Sonuç: Fonksiyon değil.
\( h = \{(1, a), (1, b), (2, c)\} \) (1, hem a hem b ile eşleşmiş!)
❌ Sonuç: Fonksiyon değil.
Evet! Fonksiyon olma şartları sadece tanım kümesi (A) için geçerlidir. B kümesinde eşleşmeyen elemanlar kalabilir. Örneğin:
\( f: \{1,2\} \to \{a,b,c\} \), \( f = \{(1,a), (2,b)\} \) bir fonksiyondur. c açıkta kalmıştır, sorun yoktur.
Fonksiyon olma şartları sağlandıktan sonra, ek özelliklerden bahsedebiliriz:
| 🔍 Kontrol Edilecek | ✅ Fonksiyon İse | ❌ Fonksiyon Değil İse |
|---|---|---|
| Tanım kümesindeki her eleman | Mutlaka eşleşmeli | Eşleşmeyen eleman var |
| Bir elemanın görüntü sayısı | Yalnızca 1 tane | 2 veya daha fazla |
| Değer kümesindeki elemanlar | Açıkta kalabilir | - |
Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını hızlıca kontrol etmek için:
Son Söz: Fonksiyon olma şartları, matematiğin temel taşlarından biridir. Bu iki basit kuralı iyi özümserseniz, ileride göreceğiniz bileşke fonksiyon, ters fonksiyon ve limit-türev konularında çok daha rahat edersiniz. 📚
