Fonksiyonlarda dört işlem

Question

Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yaparken kafam karışıyor. Özellikle iki fonksiyonu çarparken veya bölerken işlem sırasını nasıl takip edeceğimi tam anlayamadım. Bu konuyu basit bir şekilde anlatan bir örnekle açıklayabilir misiniz?

Answer 1

📊 Fonksiyonlarda Dört İşlem

Fonksiyonlar da tıpkı sayılar gibi toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Bu işlemleri yaparken bazı kurallara dikkat etmemiz gerekir.

➕ Toplama İşlemi

İki fonksiyonun toplamı, bu fonksiyonların ayrı ayrı değerlerinin toplanmasıyla elde edilir.

Tanım: \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonları için toplam fonksiyonu:

\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)

Örnek:

\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x - 3 \) olsun.

\( (f + g)(x) = (2x + 1) + (x - 3) = 3x - 2 \)

➖ Çıkarma İşlemi

İki fonksiyonun farkı, bu fonksiyonların ayrı ayrı değerlerinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Tanım: \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonları için fark fonksiyonu:

\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)

Örnek:

\( f(x) = x^2 + 2x \) ve \( g(x) = 3x - 1 \) olsun.

\( (f - g)(x) = (x^2 + 2x) - (3x - 1) = x^2 + 2x - 3x + 1 = x^2 - x + 1 \)

✖️ Çarpma İşlemi

İki fonksiyonun çarpımı, bu fonksiyonların ayrı ayrı değerlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Tanım: \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonları için çarpım fonksiyonu:

\( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)

Örnek:

\( f(x) = x + 2 \) ve \( g(x) = x - 1 \) olsun.

\( (f \cdot g)(x) = (x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2 \)

➗ Bölme İşlemi

İki fonksiyonun bölümü, bu fonksiyonların ayrı ayrı değerlerinin bölünmesiyle elde edilir.

Tanım: \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonları için bölüm fonksiyonu:

\( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \)

⚠️ Önemli Not: Bölme işleminde payda fonksiyonu sıfır olamaz! Yani \( g(x) \neq 0 \) olmalıdır.

Örnek:

\( f(x) = x^2 - 4 \) ve \( g(x) = x - 2 \) olsun.

\( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \)

Burada \( x \neq 2 \) olmalıdır çünkü payda sıfır olur.

🎯 Tanım Kümesi Üzerine Önemli Notlar

• ✅ Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde tanım kümesi, her iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişimidir.
• ✅ Bölme işleminde ise, payda fonksiyonunun sıfır olmadığı noktalar da tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
• 📌 Her zaman işlem sonucunda elde edilen fonksiyonun tanım kümesini kontrol etmeyi unutmayın!

🔍 Örnek Problem

\( f(x) = 3x - 1 \) ve \( g(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonları verilsin.

• \( (f + g)(x) = (3x - 1) + (x^2 + 2) = x^2 + 3x + 1 \)
• \( (f - g)(x) = (3x - 1) - (x^2 + 2) = -x^2 + 3x - 3 \)
• \( (f \cdot g)(x) = (3x - 1)(x^2 + 2) = 3x^3 + 6x - x^2 - 2 \)
• \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 2} \) (Burada payda hiçbir zaman sıfır olmadığı için tanım kümesi tüm reel sayılardır)