Bir üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası, aynı zamanda o üçgenin iç teğet çemberinin (inskripsiyon çemberi) merkezidir. Bu nokta, üçgenin iç bölgesinde yer alır ve üçgenin kenarlarına teğet olan çemberin merkezini oluşturur. Geometride önemli bir özel nokta olan bu merkez, genellikle I harfi ile gösterilir.
Bir üçgende herhangi bir iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.
Örneğin, \( ABC \) üçgeninde \( [AN] \), \( A \) açısının açıortayı ise:
\[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BN|}{|NC|} \]
\( ABC \) üçgeninin kenar uzunlukları \( a, b, c \) ve alanı \( S \) olmak üzere:
\[ r = \frac{2S}{a + b + c} = \frac{S}{u} \]
Burada \( u = \frac{a + b + c}{2} \) (yarı çevre) dir.
Köşe koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) ve kenar uzunlukları \( a, b, c \) olan üçgende inmerkezin koordinatları:
\[ I\left( \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c}, \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c} \right) \]
Yani, köşelerin kenar uzunluklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.
Kenar uzunlukları \( |AB| = 10 \, \text{cm} \), \( |AC| = 8 \, \text{cm} \), \( |BC| = 6 \, \text{cm} \) olan bir dik üçgende (\( \widehat{A} = 90^\circ \)) iç teğet çemberin yarıçapı kaç cm'dir?
Cevap: \( r = 2 \, \text{cm} \)
İç açıortayların kesim noktası (inmerkez), üçgen geometrisinin temel özel noktalarından biridir. Hem açıortay teoremleriyle hem de iç teğet çember özellikleriyle sıklıkla karşımıza çıkar. Bu konuyu iyi anlamak, geometri problemlerinde önemli bir avantaj sağlar.
