Geometrik dizide ortadaki terim özelliği

Question

Bu özelliği tam olarak anlayamadım. Bir geometrik dizide ortadaki terimin karesi, kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşit oluyor değil mi? Özellikle terim sayısı tek olduğunda bu kuralı uygularken kafam karışıyor.

Answer 1

# 📐 Geometrik Dizide Ortadaki Terim Özelliği: Ders Notu

🎯 Konuya Giriş ve Önem

Geometrik diziler, matematikte ve birçok uygulama alanında (finans, biyoloji, bilgisayar bilimi) karşımıza çıkan temel dizilerden biridir. Bu ders notunda, geometrik dizilerdeki "ortadaki terim" özelliğini detaylı bir şekilde inceleyecek, formülünü türetecek ve çeşitli örneklerle pekiştireceğiz. Bu özellik, özellikle üç terimli geometrik dizilerde işlem kolaylığı sağlar.

📚 Temel Tanımlar: Geometrik Dizi Nedir?

Bir dizide ardışık her iki terimin oranı sabit ise bu diziye geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan (r) adı verilir.

• 🎯 Genel Terim Formülü: İlk terim \( a_1 \) ve ortak çarpan \( r \) olmak üzere, \( n \). terim: \( a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \)
• 🔢 Örnek: 2, 6, 18, 54, ... dizisinde \( a_1 = 2 \), \( r = 3 \)'tür.

⭐ Geometrik Dizide Ortadaki Terim Özelliği

Bu özellik, genellikle ardışık üç terim için geçerlidir. Bir geometrik dizide ardışık üç terim \( \frac{x}{r}, \; x, \; x \cdot r \) şeklinde yazılabilir. Ancak "ortadaki terim" özelliği bundan daha genel ve kullanışlıdır.

📌 Özelliğin İfadesi

Bir geometrik dizinin herhangi üç terimi \( a_{k-t}, \; a_k, \; a_{k+t} \) (yani baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler) alındığında, ortadaki terimin karesi, diğer iki terimin çarpımına eşittir.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( (a_k)^2 = a_{k-t} \cdot a_{k+t} \)

Burada \( t \), terimler arasındaki indis farkıdır (\( t > 0 \)).

🔎 İspat ve Mantığı

Genel terim formülünü kullanalım: \( a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \)

• \( a_{k-t} = a_1 \cdot r^{\,k-t-1} \)
• \( a_k = a_1 \cdot r^{\,k-1} \)
• \( a_{k+t} = a_1 \cdot r^{\,k+t-1} \)

Şimdi sağ tarafı çarpalım:

\( a_{k-t} \cdot a_{k+t} = (a_1 \cdot r^{\,k-t-1}) \cdot (a_1 \cdot r^{\,k+t-1}) \)

\( = a_1^2 \cdot r^{\,(k-t-1)+(k+t-1)} \)

\( = a_1^2 \cdot r^{\,2k-2} \)

Sol tarafı ise hesaplayalım:

\( (a_k)^2 = (a_1 \cdot r^{\,k-1})^2 = a_1^2 \cdot r^{\,2k-2} \)

Görüldüğü gibi iki ifade birbirine eşittir: \( (a_k)^2 = a_{k-t} \cdot a_{k+t} \) ∎

💡 Özel Durum: Ardışık Üç Terim

Eğer \( t = 1 \) alırsak, yani ardışık üç terim \( a_{k-1}, a_k, a_{k+1} \) için özellik:

\( (a_k)^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1} \)

olur. Bu, en sık kullanılan formdur.

📝 Örnek Sorular ve Çözümler

Örnek 1:

Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi \( 4, x, 36 \) olduğuna göre \( x \) kaçtır?

Çözüm: Ortadaki terim özelliğini uygulayalım: \( x^2 = 4 \cdot 36 \)

\( x^2 = 144 \) ⇒ \( x = \pm 12 \)

Geometrik dizi artan veya azalan olabileceği için iki değer de geçerlidir. (Cevap: \( 12 \) veya \( -12 \))

Örnek 2:

Bir geometrik dizide \( a_3 = 18 \) ve \( a_7 = 162 \) ise, \( a_5 \) kaçtır?

Çözüm: \( a_5 \), \( a_3 \) ve \( a_7 \)'nin tam ortasındadır (indis farkı \( t=2 \)). Özelliği uygulayalım:

\( (a_5)^2 = a_3 \cdot a_7 = 18 \cdot 162 = 2916 \)

\( a_5 = \sqrt{2916} = \pm 54 \)

Dizinin terimlerinin işaretine bağlı olarak 54 veya -54 olabilir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

• ❌ Bu özellik sadece geometrik diziler için geçerlidir. Aritmetik dizilerde farklı bir özellik (ortadaki terim = aritmetik ortalama) vardır.
• 🔀 Terimlerin ardışık olması şart değildir, sadece ortadaki terime eşit uzaklıkta olmaları yeterlidir.
• ➕➖ Ortadaki terimin karesi alındığı için sonuç her zaman negatif olamaz. Bu nedenle, diğer iki terimin çarpımı negatif ise, bu üç terim bir geometrik dizi oluşturamaz.

🎓 Özet ve Sonuç

Geometrik dizilerde ortadaki terim özelliği, üç terim arasında kurulan güçlü bir ilişkidir:

• ✅ Formül: \( (a_k)^2 = a_{k-t} \cdot a_{k+t} \)
• ✅ Özel durum (ardışık terimler): \( (a_k)^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1} \)
• ✅ Bu özellik, bilinmeyen terim bulma, dizi kontrolü ve problem çözmede çok kullanışlıdır.

Konuyu tam anlamak için, farklı indis farkları (\( t \)) ile kendi örneklerinizi oluşturmanız ve bu özelliği uygulamanız önerilir.