Gerçek Sayı Aralıkları Nedir? Açık, Kapalı, Yarı Açık Aralıklar

Question

Gerçek sayı aralıklarını anlamakta zorlanıyorum. Özellikle açık, kapalı ve yarı açık aralıkların farkını tam olarak kavrayamadım. Mesela hangi durumda köşeli parantez kullanıyoruz, hangisinde normal parantez kullanıyoruz? Bu konuyu basitçe özetleyebilir misiniz?

Answer 1

Gerçek Sayı Aralıkları

Gerçek sayı aralıkları, matematikte birbirine komşu olan gerçek sayıların belirli bir kümesini ifade eder. Bu aralıklar, başlangıç ve bitiş noktalarının dahil edilip edilmemesine göre açık, kapalı veya yarı açık olarak sınıflandırılır.

Açık Aralık

Bir aralığın uç noktaları dahil edilmiyorsa buna açık aralık denir. Matematiksel gösterimi:

• \((a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}\)

Örnek: \( (2, 5) \) aralığı, 2 ve 5 hariç olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.

Kapalı Aralık

Bir aralığın uç noktaları dahil ediliyorsa buna kapalı aralık denir. Matematiksel gösterimi:

• \([a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}\)

Örnek: \([3, 7]\) aralığı, 3 ve 7 dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.

Yarı Açık Aralık

Bir aralığın yalnızca bir uç noktası dahil ediliyorsa buna yarı açık aralık denir. İki türü vardır:

• Soldan kapalı, sağdan açık: \([a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \}\)
• Soldan açık, sağdan kapalı: \((a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \}\)

Örnekler:

• \([1, 4)\) aralığı, 1 dahil ancak 4 hariç olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.
• \((0, 5]\) aralığı, 0 hariç ancak 5 dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.

Sonsuz Aralıklar

Bazı aralıklar bir veya iki uç noktasında sonsuza uzanabilir. Örnekler:

• \((-\infty, a) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < a \}\)
• \([b, \infty) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq b \}\)
• \((-\infty, \infty) = \mathbb{R}\) (Tüm gerçek sayılar)

Not: Sonsuzluk (\(\infty\)) bir sayı olmadığı için daima açık aralık olarak yazılır.

Answer 2

Gerçek Sayı Aralıkları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki aralık gösterimlerinden hangisi \( x \in \mathbb{R} \) için \( -3 \leq x < 5 \) koşulunu sağlar?
a) \( (-3, 5] \)
b) \( [-3, 5) \)
c) \( (-\infty, -3] \cup (5, \infty) \)
d) \( [-3, 5] \)
e) \( (-3, 5) \)
Cevap: b) \( [-3, 5) \)
Çözüm: Köşeli parantez "[" veya "]" aralığın o sayıyı içerdiğini, normal parantez ise içermediğini gösterir. \( -3 \) dahil, \( 5 \) hariç olduğu için doğru gösterim \( [-3, 5) \)'dir.

Soru 2: \( A = (2, 7] \) ve \( B = [5, 9) \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (5, 7] \)
b) \( [5, 7) \)
c) \( [2, 9) \)
d) \( (2, 9] \)
e) \( [5, 9) \)
Cevap: a) \( (5, 7] \)
Çözüm: Kesişim, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardır. \( A \)'da \( 5 \) hariç, \( B \)'de \( 7 \) dahil olduğundan kesişim \( (5, 7] \) aralığıdır.

Soru 3: \( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere \( x^2 - 4x \leq 0 \) eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
a) \( [0, 4] \)
b) \( (-\infty, 0] \cup [4, \infty) \)
c) \( (0, 4) \)
d) \( [-4, 0] \)
e) \( (-\infty, -4] \cup [0, \infty) \)
Cevap: a) \( [0, 4] \)
Çözüm: \( x^2 - 4x \leq 0 \) ifadesi \( x(x-4) \leq 0 \) şeklinde yazılır. Kökler \( x = 0 \) ve \( x = 4 \) olup, eşitsizlik tablosu sonucu \( [0, 4] \) aralığında sağlanır.

Soru 4: \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 3 \} \) kümesinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-1, 5) \)
b) \( [-1, 5] \)
c) \( (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \)
d) \( (-5, 1) \)
e) \( (2, 3) \)
Cevap: a) \( (-1, 5) \)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \( -3 < x - 2 < 3 \) şeklinde çözülür. Her tarafa \( 2 \) eklenirse \( -1 < x < 5 \) elde edilir, yani aralık \( (-1, 5) \)'tir.